2023 四川自贡中考第 12 题。

说说昨天这道题，这是去年四川的一道中考题，非常值得一练。

这是一道非常综合的题，题中给了两个动直线。动直线 a 是过原点的，动直线 b 是过渡 a，一个坐标是四六零，然后两个直线的夹角呢？oba，这个角是三十度。

接着马上要提炼出有用信息，ob 是定长，十四，且角 oba 是定角三十度，那么点 b 就知道其轨迹是个圆，直接把圆画出来。然后 ob 的中点是点 m，连上 am，要求的是角 oam 的正弦值的最大值。这是动点对直，主从联动的问题。

首先要知道主动点，即点 b 的运动轨迹。再看一下点 m，这个中心点的运动轨迹。在找定量时因为知道了点 m 是 obo 的中点，首先想到的就是各个中位线，是连接 ab 的中点还是连 oa 的中点呢？因为 oa 是个定长，所以就连点 m 和 oa 的中点勾到中位线。oa 的中点假设是点 n，那现在 on 是等于二的，也是定长。mn 是中位线，这个角也是三十度了。

on 是定长，这个角是定角，点 m 的运动轨迹也是一个圆，点 m 的运动轨迹也找到了。现在把 m 的运动轨迹这个圆画出来。然后现在看 oa，这个线段是固定的，然后点 m 的轨迹是个圆。要求的是 oa 这个角的正弦值的最大值。

而就是看这个角什么时候最大，那也就是 am 和这个圆相切的时候，这个角是最大的。为什么 am 和圆相切的时候，这个角是最大的？再讲今年河南省中考题的时候也是做过详细了解的这个问题，这里就不多说了。

感兴趣的可以翻之前的视频看一看，包括大体里怎么去说明论证都有详细的讲解。现在就要求这个角的正弦值的最大值。把这个小圆放大一点，把 m 的运动轨迹这个圆放大了，对应一下原图，on 这段是等于二，然后 na，这段是等于二角。omn 是三十度，它所谓的圆心角就是六十度。能知道，这个圆的半径也是二，把半径做出来，把半径连上 am 和 am 是垂直的。am 是圆的切线，把没有用的线擦掉了，看起来清晰一点。

那现在 am 知道 am 的平方等于 an 乘以 ao，am 是二倍的，等号二。现在这个图形是固定的，然后解三角形就可以了。

解三角形，三角形的正弦值求正弦值，首先肯定得放在直角三角形里。

过 m 做 oam 的垂线，垂直设为点际。现在垂线做完了之后能看到一组相等的角，a 是等于角，o、g，这两个角相等，都加上角 g，a 等于九。在解图形的时候很常用的方法就是通过相似加上构图。现在看有了一组相等的角，这还有一个直角。

如果过 o 做 m、g 的垂线，直角三角形也有了，相似也有了，垂直设为点 q。现在三角形 o、q、m，它是和三角形 m、p 相似，可以设 Oq 这段是 x。相似，x 比上二等于 mg 比上二倍的根号二。mg 就知道了，等于根号二 x。

现在是不是只要把 qg 求出来，mq 也能表示出来了，然后可以在三角形 moq 中通过勾股定理的一个方程。看 qg 这一段是等于过点 a 和 on 的垂线，这两段是相等的，这一段因为角是六十度，它就是根号三。

现在二的平方减去 x 的平方就等于根号二 x 减去根号三，括号的平方。然后等式化简之后可以放根号三，x 减去根号二，括号的平方等于三。开方的时候因为求的是正弦值的最大值，开方直接就取正值了，也就是根号三 x 减去根号二等于杠二三。

解除 x 之后再除以二，就是要求的正弦值了六分之，杠二六加上三。