人教版八年级数学：化简双重二次根式。

今天我们来化简双重二次根式。什么是双重二次根式？就是二次根式中的被开方数里含有二次根式，比如说根号下5+2倍根号6。如何化简双重二次根式？

·我们可以把被开方数通过变形拼凑配成两个数的平方的形式，再利用二次根式的性质去根号。这里面的倍开方数是5+2倍根号6，也就是我们要把5+2倍根号6给它拼凑成完全拼方的形式。那么5+2倍根号6就要拼成谁加谁的和的形式，这个一定是乘积的二倍，后面是二倍根号6。

·而根号6，因为根号6又等于根号2乘根号3，而根号2的平方等于2，根号3的平方等于3而且2+3恰好等于5。所以我们把5+2倍根号6给它凑成2+2倍根号2乘根号3再加3的形式。2是根号2的平方加上二倍根号2乘根号3加根号3的形式，就变成了首平方加尾平方。

·乘积的二倍在中央，它恰好是完全平方公式，所以它等于根号2加根号3和的平方。所以原式就可以化简为：根号下5拆成2+2倍根号6再加3等于根号下根号2的平方加2倍根号2乘根号3加根号3的平方，也就等于根号下根号2加根号3和的平方。

·最后上节课我们学了平方在里等于根号2加根号3的绝对值，因为根号2加根号3是大于0，所以就等于它本身。再看另外一个根号下7+4倍根号3，被开方数是7+4倍根号3，它能化简成什么？我们得把四倍根号3写成二倍的形式。

因为完全平方公式中间的那项是乘积的二倍，非常重要所以它是2*2乘根号3，这是二倍。证明前面是2的平方，后面那个数是根号3的平方，而2的平方等于4，根号3的平方等于3又因为4+3恰好等于7，所以要把7化成3+4的形式，所以它就等于根号下3+2*2乘根号3再加4，等于根号下根号3的平方加2*2乘根号3+2的平方。

观察首平方加尾平方，首尾的二倍在中央，可以写成完全平方和的形式。根号3+2和的平方，因为平方在根号里面值，最后等于根号3+2的绝对值。因为根号3+2大于0，所以最终结果是根号3+2。

·最后一个很重要，和前面两个不太一样，要想把它拼凑成完全平方，这个是二倍根号30，因为是二倍关系，根号30恰好能分成根号5乘根号6，而根号5的平方是5，根号6的平方是6，5加6恰好等于11，所以把11分成5和6，也就是根号下5-2倍根号30+6，等于根号下根号5的平方减去二倍根号5乘根号6，再加根号6的平方。

首平方尾平方乘积的二倍在中央，因为中间是减号，所以变成了根号5减根号6的平方，等于根号5减根号6的绝对值。因为绝对值具有非负性，而根号5减根号6小于0，所以取它的相反数，也就是在前面加一个符号就让它变成正的，再去括号，最后变成了根号6减根号5。