线性变换

本文的阅读等级：初级 德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 说[1]：“一个数学理论不被认为是完整的，直到你可以说得很清楚──你能解释给第一个在街上相遇的人听。”长久以来，这个问题一直困扰著许多线性代数初学者：基本矩阵运算，包括矩阵加法、纯量乘法以及矩阵乘法，是如何被定义出来的？基本矩阵运算的数学原因既不是商业机密亦非神秘主义，矩阵与其基本运算源自于线性代数的核心运转机制──线性变换 (linear transformation) 或称线性映射 (linear mapping)。定义于有限维向量空间 (vector space)，譬如，实座标向量空间 ，复座标向量空间 ，的线性变换可以用矩阵表示；矩阵加法、纯量乘法与矩阵乘法分别对应线性变换的加法、纯量乘法以及复合 (composition)

1，机器本来是没智慧的，她怎么变得有智慧的呢？人工干活不仅费时费力，还需要由人类提供大量的先验经验以弥补对数据本身挖掘不足的缺陷。那么深度学习又是如何做到呢？深度学习是通过构建一个多层的表示学习结构，使用一系列非线性变换操作实现，所以国际象棋就战胜了卡斯帕罗夫。 2，智能机器怎么实现有智慧的？深度学习模型的结构设计遵循了这种思路，具体做法是将一系列相对简单的非线性映射操作构建成一个多层网络，每一层(layer)都完成一次特征变换

在线性模型中，模型的输出为输入的加权和。假设一个模型的输出 y 和输入 xi 满足线性加权的关系，那么这个模型就是一个线性模型，跟前面体现过的模型一样。被称之为线性模型是因为当输入有n个的时候，x 和 y 组成了 n + 1 维空间的一个平面

在线性模型中，模型的输出为输入的加权和。假设一个模型的输出 y 和输入 xi 满足线性加权的关系，那么这个模型就是一个线性模型，跟前面体现过的模型一样。被称之为线性模型是因为当输入有n个的时候，x 和 y 组成了 n + 1 维空间的一个平面

若论方阵最精华的本质，诚然非特征值莫属。特征值决定了矩阵所代表的线性变换的固有特性。特征值的绝对值 (或称向径) 表示线性变换的伸缩大小，特征值的幅角则表示旋转强弱 (见“解读复特征值”)

在线性模型中，模型的输出为输入的加权和。假设一个模型的输出 y 和输入 xi 满足线性加权的关系，那么这个模型就是一个线性模型，跟前面体现过的模型一样。被称之为线性模型是因为当输入有n个的时候，x 和 y 组成了 n + 1 维空间的一个平面

本词条需要重新创作和整合，融入章节逻辑体系。 由于矢量空间中运算的线性性，可以使用矩阵来表示任何一个矢量空间中的元素和线性变换。对于一个域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间中的矢量，我们惯例上使用一个 $n$ 行 $1$ 列的矩阵来表示，称为列向量

本文的阅读等级：中级 令 为一个 阶矩阵。若 ，，满足 ，我们称 是 的一个特征向量， 是对应的特征值。浅白地说，特征向量 经过矩阵 (线性变换) 映射得到的像 (image) 不改变方向，惟长度伸缩了 倍

高等代数课程是大学数学系最重要的基础课之一，面向全体一年级本科生，授课内容包括行列式、矩阵、线性方程组求解、线性空间和线性变换、多项式、特征值、相似标准型、二次型、内积空间和双线性型等知识点，为学习后续专业课程提供了必要的代数学基础。 通过此课程的学习，提高宏观经济学素养和应试技能，为未来学习宏观经济学打好坚实基础，在宏观经济学考试中取得优异的成绩。 杜兰大学是美国南部历史悠久的私立大学，被誉为“南部哈佛”

本文的阅读等级：中级 令 为一个 阶矩阵。若 ，，满足 ，我们称 是 的一个特征向量， 是对应的特征值。浅白地说，特征向量 经过矩阵 (线性变换) 映射得到的像 (image) 不改变方向，惟长度伸缩了 倍