若论方阵最精华的本质，诚然非特征值莫属。特征值决定了矩阵所代表的线性变换的固有特性。特征值的绝对值 (或称向径) 表示线性变换的伸缩大小，特征值的幅角则表示旋转强弱 (见“解读复特征值”)。若 的所有特征值的绝对值小于 ，则幂矩阵 将随 增大而收敛至零矩阵 (见“收敛矩阵”)。若 的所有特征值的实部是负数，当 ，矩阵指数 趋于零矩阵 (见“线性微分方程的稳定性”)。透过对矩阵特征值的研究，不仅可以帮助我们了解矩阵的本质，还可以提供解读复杂动态系统行为的线索。本文探讨特征值的扰动分析，也就是在引入扰动的情况下 (如数值计算的舍入误差或来自线性系统外部的干扰)，设法界定矩阵特征值的变化范围。我们将运用矩阵范数、对角化和三角化推导出两个特征值变异的上界[1]。
此即所求。补充解释 的由来：因为 是对角矩阵，不论何种 -范数都等于最大的主对角元绝对值。
若 是一个相对小的数，则 的特征值 较不易受到微扰而变动，也就是相对不敏感。但如果 相对地大，我们就必须抱持谨慎的态度。在此情形下，特征值变化的上界完全由微扰矩阵决定： ，所以特征值扰动分析通常仅针对非正规矩阵实施。
同样考虑 ，则 且 不可逆。类似先前的推导方式，
这个结果将留待稍后使用。接下来我们运用一些矩阵代数技巧化简。我们用一个例子比较两种方法得到的上界 (取自[1])：
这两个上界的差异在于 与 ，如果它们的数值偏大，纵使微小的扰动也可能引发特征值的巨大改变。见下例：
其中 的右上零分块是 阶。这个例子显示数量级为 的一个微扰元就能造成数量级为 的特征值改变量。