本文收录在无痛的机器学习第二季目录。
这个系列是我和InfoQ合作的《无痛的增强学习入门》系列，现转载到知乎专栏中。首发地址在：无痛的增强学习入门： 策略迭代 ，欢迎围观。
上一节我们曾简单介绍了计算最优策略的方法——先得到同一状态下不同行动的价值估计，再根据这些价值估计计算出最优的策略选择。本节将详细介绍采用这个战术实现的算法——策略迭代法（Policy Iteration）。
在上面的计算思路中，我们要想知道最优的策略，就需要能够准确估计价值函数。然而如果想准确估计价值函数，又需要策略是最优，数字才能够估计准确。所以实际上这是一个鸡生蛋，蛋生鸡的问题。碰上这样无解的问题，我们往往需要一些“曲线救国”的问题。我们能不能把这个问题考虑成一个迭代优化的问题，通过一轮一轮的计算逐渐接近最优的结果呢？答案是可以的。
我们的假想思路是这样的：首先以某种策略开始，计算当前策略下的价值函数；然后利用这个价值函数，找到更好的策略；接下来再用这个策略继续前行，更新价值函数……这样经过若干轮的计算，如果一切顺利，我们的策略会收敛到最优的策略，问题也就得到了解答。下面我们先来实践一下这个思路。
为了实践这个思路并验证我们的结果，我们需要将蛇棋的难度降低。我们这里将梯子数量变为0，同时只需用两种骰子：可以投掷1-3的投掷手法和可以投掷1-6的投掷手法。对于这样的问题，我们可以直接猜测出最优的方案：在前进至97，98，99前，全部使用1-6的骰子显然可以获得最优的前进步数，而这三个位置最好使用1-3的骰子，因为这样有更大的概率一次性到达终点。
下面就来构建这种策略，并用两种相对简单的策略进行一下对比。两种简单的策略自然是一直使用其中的一种投掷手法不做变化。我们使用每一种策略随机进行1万局游戏，以下是对应的代码：
可以看出，我们设想的策略获得了最高的平均得分，说明我们的思路确实有厉害之处。如果把寻找策略的事情交给算法呢？
我们来实现一下上面提到的优化算法的两个步骤，首先是计算当前策略的价值函数估计。我们采用了迭代的方式去求解，求解的方式就是采用了Bellman等式：
由于有 的存在，每个状态的价值最终将得到收敛，于是代码可以写作：
完成了这一步，下一步就是根据前面的状态价值函数计算状态-行动价值函数：
完成计算后根据同一状态下的行动价值更新策略：
这样就完成了状态的更新。代码如下所示：
可以看出，它求出的策略结果和我们想象中的结果是一样的，说明这种算法在这个case上是没有问题的。这个算法就被称为策略迭代法。可以看出，每一轮迭代后，策略进行了一次更新，当策略无法更新时，迭代结束。算法的两个部分也分别被称为：策略评估部分和策略提升部分。
从上面的分析中，我们可以发现，策略评估部分实际上是没有问题的，主要的问题出现在策略提升上，我们能不能证明这种改进是一定得到最优结果的呢？当然是可以的。如果把每一轮迭代生成的策略形成一个策略组，并以迭代轮数进行编号，那么我们可以得到一个策略列 ，我们不但可以证明随着t增大，这个策略列依价值函数最终收敛到最优的策略 ，也就是说：
而且我们可以证明这个策略列可以依价值函数一致收敛到最优策略，也就是说对于任意的数 ，我们都存在一个k，使得当t>k时：
换句话说，随着迭代进行，策略不断趋近于最优，每一轮迭代的策略都不会比前一轮迭代的策略差。这个证明就落在策略提升这一步了。
那么我们就可以对这部分策略进行更新，得到一个新的策略 ，这个策略除了在状态s的决策与原策略不同，其他完全一致，那么对于任意一个状态s来说，有：
所以可以证明每一次策略提升都不会对当前策略的价值造成下降，同理可以证明如果策略 下状态的价值不高于策略 下状态的价值，且 下状态的价值又不高于 ，那么 下状态的价值也不高于 ，基于这种传递性，也可以得到策略迭代不断趋近最优的性质。
上面证明了策略迭代的分布性质，下面就来看看上面那个例子中分布迭代的具体表现。我们假设一开始所有的策略都采用1-3的投掷手法，于是在第一轮策略评估中，我们共进行了94轮迭代，过程中的状态的迭代值在不断变化，我们以”50“这个位置为例，做一张94轮迭代下价值的变化值：
其中横轴为迭代轮数，纵轴为价值，可以看出随着迭代轮数的增加，价值总体趋于平稳。完成第一轮的策略提升后，实际上策略已经被更新为最优策略，于是在第二轮策略评估中，再经过94轮迭代，”50“位置的价值又经历了如下的变化：
看完了上面那个简单的例子，下面让我们回到复杂的例子中来，对于一个拥有10个梯子的问题，策略迭代会给我们如何的解答呢？
可以看出，策略迭代的方法优于前面的三种方法，经过4轮迭代，它的策略已经将两种手法混合使用了。我们可以猜想，它一定是在靠近上升梯子附近使用1-3的投掷手法，在靠近下降梯子或者无梯子时使用1-6的投掷手法，对于最后几步自然是使用1-3的投掷手法。所以从最终的策略，我们也可以猜出棋盘的样子。
以上就是策略迭代的算法，除了这种算法之外，我们还有一些其他的方法，下一节我们就来介绍其他方法。