Householder 矩阵的潜藏功能在于一旦选择了适当的超平面法向量 ，镜射向量 将指向标准基底向量 ，也就是说，除了第一个元外， 的每个元皆为 。详细的算法见注解[1]，下面给出一个简约版本。设
到目前为止，读者或许还看不出来这其实是 Householder 矩阵最具实用价值的性质。
Householder 变换在数值线性代数有两个主要应用：执行 QR 分解与计算特征值的 QR 迭代法的第一个步骤。详细的过程将另文说明，在此我们先研究 Householder 变换的基本应用技巧：将对称矩阵 予以三对角化 (tridiagonalization)，目的是尽可能产生零元：
我们的想法是对 执行相似变换 ，变换矩阵 保有与 相同的特征值。同时限制 是正交矩阵，这么做的好处是逆矩阵可以立刻求得 ，而且 的一些重要性质也被保留下来，譬如，当 是对称矩阵时， 也是对称矩阵：
使用前述镜射性质，我们设计下面的主对角分块正交矩阵：
其中 是一 阶 Householder 矩阵。使用相同方法，亦可推得 。两个 Householder 矩阵的差异在于目标向量的方向相反。
准确地说， 前面使用加号还是减号，会决定 本身的正负性，即：
理由是在构造 的过程中，避免同符号的数相减引起有效位数损失，导致 不能定义或计算结果不精确。对于情形1， 的分母 ，容易验证， ，同理可证情形2。
最后需要注意的是，若 ，可以取 为1或-1。
谢谢你的补充解说，非常的精确。我将它贴到上文的附注里。
能否请教一个问题： 为何在n维空间里取一个平面，则此平面是n-1维的？（直观上看确实如此，但是如何用数学语言叙述？）
确实我们无法想像 的情况，所以还是由 取得几何解释。在 中穿越原点的一直线 构成一子空间， ，与此直线垂直的所有向量构成一穿越原点的平面 。接下来，将 3 换成 ，将平面换成超平面即可。
他所对应的对称，那个超平面必定要通过原点？
如果是矩阵表达的反射，必定通过原点，但仿射变换则否。请查阅相关文章。
请问在三对角化的过程中，3阶householder矩阵H1必须由A的第一行的后三元生成?
请问在三对角化的过程中，为什么H1必须由A的第一行的后三元生成?