本文的阅读等级:初级 德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 说[1]:“一个数学理论不被认为是完整的,直到你可以说得很清楚──你能解释给第一个在街上相遇的人听。”长久以来,这个问题一直困扰著许多线性代数初学者:基本矩阵运算,包括矩阵加法、纯量乘法以及矩阵乘法,是如何被定义出来的?基本矩阵运算的数学原因既不是商业机密亦非神秘主义,矩阵与其基本运算源自于线性代数的核心运转机制──线性变换 (linear transformation) 或称线性映射 (linear mapping)。定义于有限维向量空间 (vector space),譬如,实座标向量空间 ,复座标向量空间 ,的线性变换可以用矩阵表示;矩阵加法、纯量乘法与矩阵乘法分别对应线性变换的加法、纯量乘法以及复合 (composition)。换句话说,线性变换涉及的所有计算工作都可以透过矩阵运算实现。有别于一般基础线性代数教科书直接给出计算公式,本文从线性变换观点定义基本矩阵运算,并利用此定义证明相关的运算法则。
本周问题是应用矩阵乘法结合律推导恒等式。 Pow-Sept-5-11 参考解答 PowSol-Sept-5-11
任两个矩阵之和 不存在逆矩阵公式。这个问题令人头疼的地方在于 夹在两个矩阵之间,要将它消去似乎不是一件容易的事。我们先检视一下手边的可用工具。矩阵运算遵守下列基本性质: 分配律 , 结合律 矩阵乘法交换律不总是成立,但若 是可逆的,则存在 使得 ,交换律在此情况下成立。 理论上,运用这些性质便足以应付多数的问题,但我也不讳言矩阵运算确实要善用一些技巧,复杂一点的问题更需要巧思和洞察力。