李雅普诺夫函数和李雅普诺夫稳定在最优化和自动控制理论都有用到，这里作一些简单小结。
稳定性是系统的重要特征，是系统正常工作的必要条件，它描述初始系统下系统方程的解是否具有收敛性，而与输入作用无关。
李雅普诺夫稳定性采用了状态向量描述，不仅适用与单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统。用该稳定性理论，判断系统稳定性有直接法和间接法两种之分。
则称系统的平衡状态$\pmb{x}_e$在李雅普诺夫意义下是稳定的。
系统的每一平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的充分必要条件是，$\pmb{A}$ 的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为$\pmb{A}$ 的最小多项式的单根。
由于求解线性微分方程比较困难，所以不常用。
利用经验和技巧来构建李雅普诺夫函数，进而利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
则系统的原点平衡状态是大范围渐进稳定的。
有时候，多次试取李雅普诺夫函数都得不到正确答案时，考虑其为不稳定。
则系统平衡状态为不稳定。