up主从在高一第一次见到类似2^x=x^2根个数的问题开始，就一直恼于解答此类问题，虽然上面这题可以通过图像和代值得出答案，但不知道通法就总是过意不去（不知道有没有和我一样的人233）。那么现在我们就一口气把它解决了吧（非专业性，只求看懂）
一、变形
（1）当x=0时，左边=1≠右边=0，故0不是该方程的根
（2）当x>0时，对两边同时取对，有
（3）当x<0时，我们就要注意一下幂函数的图像性质
①第一象限一定有图像且一定过点（1，1）；第四象限一定没有图像
②若是奇函数，则第三象限有图像；若是偶函数；则第二象限有图像；若是非奇非偶函数，则只在第一象限有图像
（关于幂函数奇偶性的判断放在文章最后面）
再考虑指数函数的图像，我们可知只有y=x^a是偶函数时，x<0时该方程才有根，此时原方程化为
再取对，有
我们还注意到，上述两个方程的右边可以统一为ln|x|/x，为此，我们要讨论的就是
根的个数
二、作图（这一步大家应该都会我就不赘述了，看图吧）
借助强大的图形计算器，我们还得到y=-1/e与右边曲线的交点横坐标是个无理数（这点很重要），且约为0.757。同时ln(a)/a的值就可以从右边曲线直接看出，因此我们得到
①0<a<0.757时，直线y=ln(a)/a只和曲线y=ln|x|/x左边无交点，和右边有一个交点，故此时方程只有一个正根，且这个根就是a
②a=0.757时，直线y=ln(a)/a和曲线y=ln|x|/x的左右两边各有一个交点，但注意，上面我们说了此时0.757只是一个近似值，它实际上是一个无理数，所以此时y=x^a其实是非奇非偶函数，故仍然只有一个正根，且这个根就是a
③0.757<x<1时，直线y=ln(a)/a和曲线y=ln|x|/x的左边有两个交点，右边有一个交点，此时一定有根a。若y=x^a还是偶函数，那么另有两负根，一根∈（-∞，-e），一根∈（-e，-1）
④x=1时，和②类似，虽然左右各有一根，但y=x是奇函数，所以只有一个正根，为1
⑤x>1且x≠e时，直线y=ln(a)/a和曲线y=ln|x|/x的左边有一个交点，右边有两个交点，此时一定有两正根，一根∈（1，e），一根∈（e，+∞），且有一个为a。若y=x^a还是偶函数，那么另有一负根∈（-1，0）【准确说是∈（-1，-0.757）】
⑥x=e时，y=x^e是非奇非偶函数，所以只有一个根e
因此，方程a^x=x^a最少有一根，最多有三根
最后，我们可以轻松求解开头的问题了，a=2符合⑤，故2^x=x^2有三个根:一个负根∈（-1，0）【准确说是∈（-1，-0.757）】，一根∈（e，+∞）【其实就是4】，还有一根为2
附录: 对于函数y=x^a（a∈R）
（1）a∈Q时
①若a∈Z，则
a为奇⇔y=x^a为奇函数；
a为偶⇔y=x^a为偶函数
②若a∉Z，设a=p/q（p、q∈Z），则
p为奇，q为奇⇔y=x^a为奇函数
p为偶，q为奇⇔y=x^a为偶函数
p为奇，q为偶⇔y=x^a为非奇非偶函数
（2）a∉Q时，y=x^a必为非奇非偶函数
好了，本人（高中生）的第一篇文章到这里就结束了，非常非常感谢看到这里的你。如果大家可以从这篇文章收获到什么，我会很开心的；如何大家对文章有疑义，也可以在评论区提出，有幸的话，我们下次再见