【高等数学基础进阶】常微分方程-补充 & 多元函数微分学-补充

烧灯续昼2002

2022-09-13 72 阅读2分钟

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一阶微分方程

一阶微分方程一般有五种解法：可分离变量的方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；伯努利方程；全微分方程

如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标注形式，首先考虑将 $x,y$ 对调，即认定 $x$ 为 $y$ 的函数，再判断新方程的类型；或者利用简单的变量代换将其化为上述五种类型之一而求解

微分方程求解

例8：微分方程 $ydx+(x-3y^{2})dy=0$ 满足条件 $y \Big|_{x=1}^{}=1$ 的解为 $y=()$

这里用偏积分的方式求解

设 $y=f(x)$ ，即有 $g(x,y)=0$ ，依据题意，由于

\frac{\partial y}{\partial y}=1,\frac{\partial z-3y^{2}}{\partial x}=1

因此可以用偏积分的方式

\begin{aligned} dg(x,y)&=ydx\\ \int\limits_{}dg(x,y)&=\int\limits_{}ydx\\ g(x,y)&=xy+\phi(y)\\ &代入另一个\\ \frac{\partial g(x,y)}{\partial y}&=x+\phi'(y)=x-3y^{2}\\ \phi'(y)&=-3y^{2}\\ \phi(y)&=-y^{3} \end{aligned}

因此可得

g(x,y)=xy-y^{3}=0

有

y=0或y=\sqrt{x}

又因为 $\begin{aligned} y \Big|_{x=1}^{}=1\end{aligned}$ ，因此 $y=\sqrt{x}$

高阶偏导数

定理：如果函数 $z=f(x,y)$ 的两个混合偏导数在区域 $D$ /某点内连续，则在该区域内/该点

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}

对于二元以上的函数，也可以类似地定义二阶或者更高阶偏导数，且二阶与高阶混合偏导数连续时，混合偏导数的值与求导次序无关

全微分

定义：如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 处的全增量

\Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})

可表示为

\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)

其中 $A,B$ 与 $\Delta x,\Delta y$ 无关， $\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ ，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 处可微，而 $A \Delta x+B \Delta y$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 处的全微分，记为

dz=A \Delta x+B \Delta y

如果 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内的每一点 $(x,y)$ 都可微分，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 内可微分

偏导数计算

先带后求明显比定义法更方便，因为带完后原本二元函数变为一元函数，一元函数看导数是否存在是方便的

可导与可微

$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{aligned}& \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\ne (0,0)\\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$ 在 $(0,0)$ 点可导，但不可微

\begin{aligned} f_{x}(0,0)&=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x \cdot 0}{\sqrt{(\Delta x)^{2}}}=1\\ f_{y}(0,0)&=1 \end{aligned}

显然可导

\begin{aligned} &\lim\limits_{\substack{\Delta x \to 0\\ \Delta y\to 0}}\frac{\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}-0-(1\cdot \Delta x+1\cdot \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\\ =&\lim\limits_{\substack{\Delta x \to 0\\ \Delta y\to 0}}\frac{\Delta x \Delta y-(\Delta x+\Delta y)\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\\ =&\lim\limits_{\substack{\Delta x\to 0\\ \Delta y=k \Delta x}}\frac{[k-(k+1)\sqrt{k^{2}+1}]  (\Delta x)^{2}}{(k^{2}+1)(\Delta x)^{2}}\ne 0 \end{aligned}

显然不可微

全微分形式的不变性

设函数 $z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)$ 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 的全微分

\begin{aligned} dz&=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}y=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv \end{aligned}

即，不论把函数 $z$ 看做自变量 $x,y$ 的函数，还是看做中间变量 $u,v$ 的函数，函数 $z$ 的全微分形式都是一样的

隐函数微分法

由方程组

\left\{\begin{aligned}&F_{1}(x,y,u,v)=0\\&F_{2}(x,y,u,v)=0\end{aligned}\right.

确定的隐函数 $u=u(x,y),v=(x,y)$

若要求 $\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$ ，可以将每个方程分别对 $x$ 求偏导数，得出以 $\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}\end{aligned}$ 为变量的方程组，可解得 $\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}\end{aligned}$ 。同样，将每个方程分别对 $y$ 求偏导数，可以得出以 $\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$ 为变量的方程组，解之可得 $\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$

隐函数的偏导

如果实在不会用定理2判断隐函数的自变量和因变量，可以根据题目提问看谁是因变量，例如下题，显然是 $u$ ，谁是自变量，例如下题，显然是 $x,y$

例6：已知 $u+e^{u}=xy$ ，求 $\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\end{aligned}$

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