高中知识解三体问题

著名的三体问题已经被证明"不可解",但是我们可以用中学物理知识,求出它的数值解。

这里所说的"不可解",通俗地说,就是我们无法找到一个数学公式来描述它们的运动轨迹。但如果知道了三个星体的质量、位置和初始速度,我们可以通过数值计算,给出它们在任意时刻的位置。

我们先来看有两个星体的情况:

有A、B两个星体,已知它们的质量,以及某一时刻它们的位置和速度。

那么由万有引力定律,我们就能求出它们所受的力。

我们知道力的作用是相互的,所以它们所受的力是等大反向的。

由牛顿第二定律,F=ma,我们又得到了它们加速度:

a=F/m

我们已经知道了它们的初始位置,可以根据位移公式


求出它们经过一个很小的时间间隔∆t后的位移。


这里只是列出了基本公式,如果我们用矢量来计算的话,原来的位置加上位移,就得到了新的位置。

有了新的位置,我们又可以算出它们在下一个∆t的位置。


如此循环下去,我们就能得到它们的运动轨迹。虽然运算量很大,但我们可以编个程序,让计算机来完成。


这样计算虽然是有误差的,但我们可以减小时间间隔∆t,来提高精确度。比如让∆t小1000倍,那么精确度就会提高一百万倍。因此,借助计算机,哪怕是许多行星的极端复杂的运动,也能以我们所希望的任意高的精确度计算出来。


我们再来看三个星体的情况:每一个星体会受到另外两个星体的引力,我们分别计算这两个力,再加起来。

然后我们又能算出它的加速度,进而得到它在∆t之后的位置。

每个星体都算完之后,我们又可以进入下一个循环,计算它们下一个∆t的位置。这样一步一步地进行下去,我们就能描绘出它们的运动轨迹。


现在我们还可以扩展到n体问题,比如计算太阳和八大行星的运动轨迹。类似的,对于某一个星体,我们需要计算出其他星体对它的引力,全都加起来,然后按照上面的步骤计算就可以了。