对于 a=0a = 0a=0 的情况

对于 a=0a = 0a=0 的情况，定义中的第一个等式显然成立。

对于 a≠0a \ne 0a=0 的情况，则 (ap)=1(ap) = 1(ap)=1。此时模 ppp 的所有非零的余数，在同于意义下对乘法构成一个群，此群的阶是 p−1p-1p−1。根据群论中的拉格朗日定理，对于该群中的 ∀x\forall x∀x，都有 xxx 的阶必整除群的阶，故命题得证。

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况。

卡迈克尔函数比欧拉函数更小，费马小定理也是它的特殊情况。它的特殊情况。