简单来说，函数 在区间 上的定积分 指的是 在区间 中与 轴围成的区域的面积（其中 轴上方的部分为正值， 轴下方的部分为负值）。
很多情况下，我们需要高效，准确地求出一个积分的近似值。下面介绍的 辛普森法，就是这样一种求数值积分的方法。
这个方法的思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算。
根据这个辛普森公式，我们先介绍一种普通的辛普森积分法。
1743 年，这种方法发表于托马斯·辛普森的一篇论文中。
我们就可以计算每个小区间 ， 的积分值，将所有区间的积分值相加即为总积分。
对于 ， 的一个区间，选其中的三个点 就可以构成一条抛物线从而得到一个函数 ，这个函数存在且唯一。计算原函数在该区间的积分值就变成了计算新的二次函数 在该段区间的积分值。这样我们就可以利用辛普森公式来近似计算它。
将其分段求和即可得到如下结论：
我们直接给出结论，普通辛普森法的误差为：
普通的方法为保证精度在时间方面无疑会受到 的限制，我们应该找一种更加合适的方法。
现在唯一的问题就是如何进行分段。如果段数少了计算误差就大，段数多了时间效率又会低。我们需要找到一个准确度和效率的平衡点。
我们这样考虑：假如有一段图像已经很接近二次函数的话，直接带入公式求积分，得到的值精度就很高了，不需要再继续分割这一段了。
于是我们有了这样一种分割方法：每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似的话就直接代入公式计算，否则将当前段分割成左右两段递归求解。
现在就剩下一个问题了：如果判断每一段和二次函数是否相似？
我们把当前段直接代入公式求积分，再将当前段从中点分割成两段，把这两段再直接代入公式求积分。如果当前段的积分和分割成两段后的积分之和相差很小的话，就可以认为当前段和二次函数很相似了，不用再递归分割了。
上面就是自适应辛普森法的思想。在分治判断的时候，除了判断精度是否正确，一般还要强制执行最少的迭代次数。