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今天所讲内容很有意思。
（1）先回顾一下费马小定理：
费马小定理：若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则 能够被p整除。或者说， |
（2）显然，除去2和5以后的其他素数p都不能整除10，所以，由费马小定理有：
也就是说，10自乘p－1次之后，与1同余（mod p）。但很多时候，10不一定要自乘这么多次就可以做到与1同余（mod p）。比如，若素数p=13，由费马小定理，下式成立没有问题：
但其实，10自乘6次(而不是12次)便可与1同余了，即：
是不是真的很神奇！但规律找到了，找到规律之后的心情就不只是惊奇，只能觉得数学太伟大了！
（4）我上一讲讲过n=2,7,11,13，而我这一讲却一直在说n=10，这是因为我们常用的进位制是十进制。我们前面讨论的小数循环节也是在十进制情况下才有的。前面讲了，在n=10时，e可能等于p －1，很多时候会比p －1小（是p －1的因子)。e=p －1时意味着p的倒数1/p的小数循环节的位数为p －1。那么，我们就看一看哪些素数p，其倒数 1/p被表示成小数形式时，其循环节长度达到了最大值p －1。 我们前面说过的1/7是这种情况，即1/7的循环节是7－1=6。我们发现，p=17时，10也需要经过17－1却16次自乘才能使得乘幂与1同余(mod 17)，所以，1/17的循环节有16位。这个16不算小了。但是对p=97这个稍大一些的素数，p=17的循环节长度就是小巫见大巫了，这时的e=96，即10要自乘96次方才可以与1同余(mod 97)，所以，1/97的小数表示形式的循环节有96位之长。我们的计算器一般都计算不到这么多位。
（5）我们上一讲最后说到过原根。 所谓素数p的原根(用g表示)是指，使得同余式g^e≡1(mod p)得以成立的最小的e必须为p －1。 比如10的18次方才能够与1同余(mod 19)，所以g=10，即10是素数19的一个原根。原根这个概念有些深奥。本讲主要涉及10这个原根。由于我们所说的小数是在十进制下才有的，所以，10这个原根便与小数的循环节产生的联系。对于那些其倒数的循环节为p －1的素数p，10都是它们的原根。比如，10是100以内下面这九个素数7,17,19,23,29,47,59,61,97的原根。这也就是说，这九个素数，它们的小数表示的循环节的长度都达到了最长——素数本身减1（即p －1）。比如，p=23，则1/p表示为小数时，循环节的长度为23 －1=22。
（7）最后，据说目前还没有人研究清楚，其倒数的循环节为p-1的素数p到底有无穷多个还是只有有限多个。 返回搜狐，查看更多
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