线性代数之——线性相关性、基和维数1. 线性相关性
矩阵线性不相关的当且仅当的列是
的唯一解是
。没有其它的线性组合能给出零向量。
在三维空间中，如果三个向量
一系列向量线性不相关的当且仅当给出零向量的唯一线性组合是是
。
如果一个线性组合给出零向量，但不是所有的系数都为零，那么它们就是相关的。
矩阵线性不相关的当且仅当其秩的列是
。这时候有
个主元没有自由变量，零空间中只有一个零向量。
假设在一个矩阵有 5 列，每一列都属于
如果，那么在
中的
个向量一定是线性相关的。
一系列向量可以扩充出（span）一个空间如果它们的线性组合填满了这个空间。列空间就是所有的列扩充出的子空间。
行空间是由矩阵的行扩充出的子空间，
2. 基
两个向量不能扩充出
一个向量空间的基是一组向量，并且满足：它们都是线性不相关的并且它们能扩充出这个空间。
这个空间中的任何向量都可以表示为这些基的线性组合，而且是唯一的线性组合。
向量是
的一个基当且仅当它们是一个
的可逆矩阵的列。因此，
可能有无穷多个基。
矩阵
3. 维数
一个向量空间的所有基都包含相同数量的向量，基中向量的个数，称为空间的维数。
假设和
都是同一个向量空间的基，那么一定有
。
如果
我们不知道每一个系数
同理，我们也可以证明
一个空间的 维数就是每个基中向量的个数。
3. 矩阵空间和函数空间
相关性、基和维数不仅仅局限于向量空间，也适用于矩阵空间和函数空间。
一个包含所有 2×2 矩阵的向量空间，它的维数是 4。
这些矩阵是线性不相关的，我们不仅仅是看它们的列，而是将整个矩阵看作是一个“向量”。
只有当
二阶线性微分方程的解空间维数为 2。
空间