线性代数中四个基本子空间_线性代数中span和子空间-CSDN博客

• 用到的线性代数基础知识回忆

  • 如果矩阵 中存在至少 1个不等于零的 r阶子式， r阶以上子式均等于零，则称该矩阵的秩为 r，记为 r( A)
  • 矩阵的行秩等于列秩,说明行列向量的线性无关的个数是相同的
  • span:由一组基线性组合张成的一个向量空间
    • span
      $$\mathrm{span}\left[{\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n\right]=\left\{\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^m|\mathbf{y}=\sum _{k=1}^n{c}_k{\mathbf{a}}_k\right\}=S$$
    • S可以有不同的一组基，但是基里向量的个数是相同的，被称为S的维数(dimension)，等于rank(A)(A为S的基向量组成的矩阵)。一个子空间用一组基就可以表示了

• n维实空间Rn的子空间概念
  

• 列空间(Column Space)

  • C(A):矩阵A的 Column Space
    
  • 对于一个m*n的矩阵来说,C(A)是$${\mathbb{R}}^m$$的子空间

• 零空间(Null space)

  • N(A)包含Ax=0的所有的解的集合,N(A)是R^n的子空间, 即N(A)为以Ax=0的一组为
  • 零空间 N(A)，一个 Rn 的子空间，由所有 Ax=0 的解的线性组合构成，维数为 n−r=0时即满秩矩阵(此时零空间是原点,就一个点)
    由此可知对于一个m*n的矩阵A,AX=0, 则该方程解的组数(X列向量个数)=n-矩阵A的秩

• 行空间(Row space)

  • C(AT)是Rn的子空间(包含所有行的线性组合)

• 左零空间(left null space)

• N(AT)={ATy=0}的解集合，是Rm的子空间

子空间之间的关系