在许多物理、工程和经济学问题

在许多物理、工程和经济学问题，我们常关注动态系统在均衡状态 (equilibrium state) 附近的行为。如果一系统受到小干扰后最终会返回均衡状态，便称此系统是渐近稳定 (asymptotically stable，以下简称稳定)，否则称为不稳定。设向量 表示系统于时间 所处的状态。对于一般动态系统，我们可以用线性微分方程

近似描述系统在均衡状态 附近的行为，其中 是一 阶常数矩阵， 是由扰动所决定的初始状态。本文推导稳定线性系统的充分与必要条件，即当 ，线性微分方程解 的所有元趋于零的条件。

上述线性微分方程的解为 (见“线性微分方程解的存在性与唯一性”)，验证于下：

这里 表示抽取复数 的实部。以下分开两种情况讨论。设 可对角化为 ，其中 ， 的行向量由 的线性独立特征向量所构成。当 可对角化时， 亦可对角化如下 (推导过程见“矩阵指数”)：

接着考虑 不可对角化的情形。我们介绍两种证明方式。第一个证法用 的 Jordan 典型形式推论出稳定条件。运用同样的论述方式， 趋于零矩阵的充要条件是 趋于零矩阵。对于非主对角元，利用 l’Hôpital 法则，

最后一个一阶常微分方程的解为 。接下来我们运用归纳法证明当 ，所有 。除最末式外，上面的微分方程都具有下列型态：