数学分析笔记第一章_第五版数学分析上册第一章笔记-CSDN博客

第一章 实数集与函数

1. 实数：我们确确实实可以从数轴上找到的数，或者说，我们确确实实可以在现实生活中找到对应的数。例如：我们可以将一杯水和数字1相对应，在规定这一杯水是1的情况下，我们可以通过和这杯水的比较来规定任何体积水与实数的对应。即实数为可以与现实生活物品有所对应的数。
2. 函数：代表一种映射关系。函数类似于一条线，将一个物体和令一个物体联系起来，但是他们之间的联系不是随意的联系，而是有某种规律、某种特征的联系。

1.1 实数

数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数。

1. 定义在实数集上的函数：也就是说自变量的取值是实数并且因变量的取值也是实数。数学分析不研究自变量是实数，因变量是虚数的情况。也不研究自变量是虚数，因变量是实数的情况。更不研究自变量和因变量都是虚数的情况。

1.1.1 实数及其性质

定义1：实数由有理数与无理数两部分组成。

1. 有理数可以用分数形式$\frac{p}{q}$（$p$、$q$为整数，$q\ne 0$）表示，也可以用有限十进小数或无限十进循环小数来表示。
2. 分数形式和有限十进制小数或无限十进循环小数是一一对应的。
3. 无限十进不循环小数则称为无理数。

把有限小数（包括整数）表示为无限小数的规则：

• 对于正有限小数（包括正整数）$x$，当$x=a_0.a_1{a}_2...a_n$时，其中$0\le a_i\le 9,i=1,2,...,n,a_n\ne 0，a_0$为非负整数，记$x=a_0$