第2讲 二阶线性微分方程的求解方法

二阶线性微分方程形如 y’’ + P(x) y’ +Q(x) y = f(x)，是二阶微分方程 y’’ =F(x,y,y’)的特殊形式。当f(x) = 0时，称为齐次的，否则称为非齐次的。二阶线性微分方程的力学背景是加速度，利用牛顿第二定律可以列出二阶线性微分方程。例见同济高数P329。知识点脑图如下：
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学习要点

1、和一阶微分方程对应，掌握齐次方程和非齐次方程的解的结构关系
2、牢记二级结论，对定理推导的结果如特征根法求解公式。否则做题时重新推导速度太慢
3、学习和练习的要点就是典型模型识别和套公式的转化化归。因为很多解是采用构造法得出的，能套上合适的模型就是一种能力。不要看不起套公式的方法。

一、解结构

1、二阶齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x)

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当y1(x)和y2(x)是线性无关的，y= C1 y1(x) + C2 y2(x) 就是齐次微分方程的通解。注意，两个函数只要不是倍数关系，就是线性无关的。