【数学基础】线性方程组解情况整理_线性方程组的解的三种情况-CSDN博客

一、非齐次线性方程组，无解，多解，唯一解

非齐次线性方程组，就是方程组的等式右边不为0的方程组，系数加上方程等式右边的矩阵，叫做增广矩阵。

【例1】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组个数小于未知数个数，有多个解。

第一步，先列出增广矩阵：

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵
先把第2行换到第1行

第2行减第1行的2倍，第3行减第1行的3倍，得到

第3行减第2行，得到

化简后的方程组，等于

这样， $x_{2}$ 可以通过 x_3 来表示， x_1 也可以通过 x_3 来表示，这样 x_3 就叫做自由变量， x_3 可以取任意值。所以 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 就有无穷多个解。

可见，化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。
有效方程组个数=2，未知数个数=3

化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。这样的方程组有无穷多个解化。即 ${\color{Red}{r(A)=r(A,b) <n }}$ 。

【例2】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组出现(0=d)型式不兼容方程，则无解化。

第一步，先列出增广矩阵：

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵。
第2行减去第1行*2，第3行减去第2行

导出最后一个方程：

$0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=5$

这个方程是不可能成立的，所以原线性方程组无解。
这种形式的方程叫做 {0=d} 方程，其中d是非零数，这种叫做不相容方程，也是自相矛盾的方程。
{0=d} 方程是一种自相矛盾的方程，左边全是0，右边是一个非零，这是自相矛盾的，是不相容的，所以无解。

化简后导出 {0=d} 形式的方程，方程组无解。

判断有解无解总结：
对于 Ax=b 方程组
通过高斯消元法，化简，化成阶梯行方程组

先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程，如果出现，无解。
有解的情况下，再看看有效方程个数是否小于未知数个数，如果是，则有无穷多个解。如果正好相等，则有唯一解。

二、齐次线性方程组，非零解，零解

齐次线性方程组，就是方程组的等式右边全部是0的方程组，只有系数矩阵，不需要增广矩阵，所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况，只需要考虑是多个解，还是唯一解。

对于齐次线性方程组，有多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。

对于 Ax=0 的齐次线性方程组，列出其系数矩阵（不需要增广矩阵），使用高斯消元法化简，化为阶梯形矩阵，化简后，判断有效方程组个数是否小于未知数个数。
如果有效方程组个数小于未知数个数，叫做有非零解（多个解） 。如果等于，叫做只有零解（唯一解）。

三、什么是矩阵的秩（ $zh\grave{i}$ ），什么是detA?

detA就是矩阵A的行列式的值。
什么叫做矩阵的秩？
将矩阵用高斯消元法化简后，非零行的行数叫做行秩，非零列的列数叫做列秩。
矩阵的秩是方阵经过初等变换后的非零行行数或非零列列数。
可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是极大无关组中所含向量的个数。

定义： ${\color{Red}{ A=\{ a_{ij} \} m\times n }}$ 的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩。
记做 ${\color{Red}{rA}}$ ，或者 ${\color{Red}{rankA}}$ 。
特别规定零矩阵的秩就是零。
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r< min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n。