摘要: 运用有限p-群的有关知识，给出了两个判定广义四元数2-群的充要条件，进而得到结论：设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p-阶子群。
是四元数群 Q 8
在有限p-群上的推广。 Q 2 n 是一类十分重要的有限p-群，具有很多优良的性质。例如，
1) Q 2 n 是一类具有极大循环的子群的有限p-群；
3) Q 2 n 是一类仅有一个2阶元的有限p-群等等。本文讨论了广义四元数2-群另两个性质：
4) Q 2 n 的每一个交换子群都循环；
从而得到两个判定广义四元数2-群的充要条件，进而也得到如下有趣结论：
设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环的充要条件是G仅有一个p阶子群。
为了方便主要定理的证明，下面引入几个引理。
引理1：设G是一个p-群，且G的每个交换正规子群皆循环。
引理4：若G是一个广义四元数2-群，则G的每个交换子群皆是循环群。
因此广义四元数2-群的循环子群就是它的全部交换子群，即证。
定理1：设G是一个非循环p-群。则下列三个条件等价。
1) G是一个广义四元数2-群；
由于G的每个交换子群皆循环，所以G的每个交换正规子群也皆循环。因而由引理1知，G要么为循环群，要么为具有循环极大子群的2-群。既然G不循环，从而G是有循环极大子群的2-群。因此G可能为引理2中七类群中 ( 2 n − 1 2 ) 型交换群(II)、广义四元数2-群(VI)、二面体2-群(V)、半广义四元数2-群(VI)和(VII)类型群。但由文献 [3] 的定理1的证明过程知，(II)、(VI)、(V)和(VII)类型群都有 ( 2 2 ) 型的交换子群，故G仅能为广义四元数2-群。
从定理1中，我们很容易得到一个有趣的推论。
推论：设G是一个有限p-群。则G的每个交换子群皆循环当且仅当G仅有一个p阶子群。
证明：对于G循环的情形是显然的；对于G不循环的情形可由定理1得到，即证。
该文由重庆市教委科研项目(KJ1710254)，重庆三峡学院重点项目(14ZD16)资助。