一个长度为 $n$ 的排列是正确的，当且仅当他不存在非平凡的连续子序列，使得他的值也是连续的。 对于 $k\in[1n]$ 求出，有多少长度为 $k$ 的正确的排列。
其中 $f_i$ 表示有 $i$ 个叶子节点，根节点为析点且树高为 $2$ 的析合树数量，$g_i$ 表示有 $n$ 个叶子节点，根节点为合点，且孩子排列的相对大小关系是单调上升的析合树个数。注意到 $g_i$ 也同时表示孩子排列相对大小单调下降的析合树个数。
考虑一个析合树是合法的，其本身节点的限制：
如果一个点是析点，他的所有儿子都是析点。
如果一个点是合点，且他的一个儿子也是合点，那么这两个点的单调性一定恰好相反。
根据这两条我们可以得到关于上述生成函数的若干等式：