分析：根据题意要示\(1777\uparrow\uparrow1855\)的最后八位数字，即求\(1777\uparrow\uparrow1855\ mod\ 10^8\)。根据题目中的示例，迭代幂次是一种增长非常快的运算，所以\(1777\uparrow\uparrow1855\)会是一个天文数字，所以我们决不能通过求出它的值之后再对它取余，必须使用其它的办法。我们知道计算一个幂的余数可以使用快速幂模算法，通过这种方法我们可以在不求幂的情况下快速计算出幂模，而在python中我们使用自带的\(pow()\)函数即可以实现这种算法。
有了上面的递归方程，我们可以很容易的得到答案。可惜的是，在\(python\)中，题目要求的数据量导致求解时超出最大递归深度，无法求解，所以必须改用递推的方法。
使用上述递推关系，当\(\varphi_i=10^8\)时，我们就都求得了题目的解。代码如下：
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