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两个跑步者正在环形跑道上训练。第一个跑步者跑一圈需要60 秒,第二个跑步者跑一圈需要40秒。如果两人同时从起跑线 上出发,他们什么时候会在起跑线上再次相遇?
这个问题实际上不是关于赛道的几何学,也不是关于速度和快慢的,而是关于倍数和整 除的。
第二个选手在40秒、80秒、120秒、160秒等后穿过起跑线。两位选手同时第一次回到起 跑线上是在秒之后。
我们找到的是个同时是40 和60 倍数的最小数,这也被称为最小公倍数或缩写为lcm.
求任意两个数a和b最小公倍数,如果a 整除 b 那么很重要的一点是要认识到b必须具有a 的所有素数因子(外加其它的):
这很容易验证:如果一个素数因子整除a,同时a整除 b,那么该素数因子一定也整除b。
为了找到40和60的最小公倍数 我们首先数需要找到两者 的共有素数因子:
要找到X,我们只需将40和60的所有素数因子 组合在一起,但是两边出现相同因子时我们只需要一份:
我们从这得到X = 120,就像我们看到的上图。注意,如果相同的素数因子出 现多次,如上面的2,我们需要保持两个次数中最大的那个次数(40中的 3次比60中的2次多)。
现在我们有了一个简单的方法来查找两个数字的最小公倍数:
找出每个数的素数因子。
将所有数素因子组合起来,但重复出现的只算一次。
我们可以使用相同的方法找到三个或更多数的最小公倍数,如12、 30和45:
北美是各种各样的蝉群的家园。这些蝉有一种奇特的特性,即它们每隔多年的夏季才出 来繁殖——剩余时间它们在地下度过。
例如,佛罗里达州和密西西比州的蝉每13年出现一次。伊利诺斯州和爱荷华州的蝉只每 17年出现一次。但是没有一种蝉有12年、14年、15年或16年的出现周期。
13和17都是质数 - 这是有充分理由的。想象一下森林里有捕食者杀死了蝉。这些捕食者 也会定期出现,比如每6年出现一次。
不同的蝉出现周期长度 决定了蝉和捕食者相遇的时间。
如果蝉的间隔周期是像13和17这样的质数,这个数字看起来就要大得多。这是因为素数 不与6共有任何因子,所以在计算最小公倍数时,我们不会消去任何重复因子。
当然,蝉不知道素数是什么,但在数百万年的时间里,进化证明了素数周期是最安全的。 捕食者似乎已经随着时间的推移而灭绝,但素数周期仍然存在。
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