一个 阶矩阵 的行列式存在多种不同的定义方式

一个 阶矩阵 的行列式存在多种不同的定义方式，目前最被广泛采用的定义当属莱布尼兹 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 公式[1]：

我们定义 若 包含偶数个换位， 若 包含奇数个换位。本文从行列式的几何定义出发，解说如何从三个设定的性质推导出莱布尼兹行列式公式 (二阶行列式公式的推导请见“行列式的运算公式与性质”)。

根据几何学知识，我们有底下三个关于平行多面体体积的基本性质：

性质一称为归一性 (normalization)，无须进一步讨论。性质二说明两个相同的重合向量造成平行多面体退化。性质三表示 是一个多重线性 (multilinear) 函数，意思是当所有 固定时， ， 是 的线性函数。使用退化和多重线性函数性质可推演出性质四： 是一个交替 (alternating) 函数。

定义 ，现在开始推导莱布尼兹公式。将行向量 表示为标准基底向量 的线性组合：

其中 且每一 ，因此共有 种组合。这表示我们仅需要针对所有可能的排列 加总即可：

合并以上结果并使用性质一，便得到平行多面体体积算式：

老师，请教一下外积（cross product）与行列式的关系为何？为何两个向量的外积与这两个向量垂直并且可以通过行列式表达？我只记得外积的定义式但从未真正理解其本质，请老师指教。

谢谢老师解答。

期末比较忙，先前没有仔细读懂你的问题。理解cross product 与行列式关系的**途径是exterior product，如果你有兴趣了解可阅读底下free book的2.1.1 2.1.2 2.2.1，这是一本线性代数奇书：

感谢老师提供的书，该书从非传统的角度看线代，果然是奇书。