回忆数理方程 我们最常接触的是如下方程:
我们有Gauss-Green公式:
其中$\gamma$为迹 使得公式对更多函数成立. 进而我们有分部积分公式:
对偏微分方程的求解 一种常用的方法是算子半群方法 从而将问题转为求解无穷维ODE.
推导中多次用到Gauss-Green公式. 由于函数具齐次边界条件 边界项(蓝色项)全部消失. 由此我们得到了对偶算子$L^\ast .$
类似地 对双曲型 抛物型方程 我们也有对偶算子:
对偶算子的重要性在于 由泛函分析 有如下重要命题:
这说明我们找到的$x\in B$正是$Ax=b$的解.