一、几何证明法：对应于欧几里德的辗转相除法求最大公因子。

此方法是找BD和BC的公度量，BC为单位长（有理数长度，可公度），如果能找到，则BD长是有理数（可公度），否则是无理数（不可公度）。

求公度量的方法是：不断地用较长的那个线段减短的线段，直到两者相等。

如上图所示：1、用BD-BC=DE=CF；2、BC-CF=BC-DE=DF；3、DF-DE回到第一步，所以永无止境，故找不到共度量，得证。

 

二、数学反证法：

设sqrt(2)=p/q，则p^2=2*q^2，设p与q互质（不互质的话可约去公因子直到二者互质）；所以p是偶数，设p=2*r，则4*r^2=2*q^2，所以q是偶数，与假设矛盾，故得证。

 

其他巧妙的比较现代的证法可参考：http://www.tzhledu.net/blog/user1/8355/20101129141616.html