向量组、方程组与线性空间

求解线性方程组

(中国石油大学,2021)讨论 {a,b} 为何值时,线性方程组
{ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=1 \\ -x_{2}+(a-3) x_{3}-2 x_{4}=b \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+a x_{4}=-1 \end{array}\right. }
有唯一解,无解,无穷多解? 当有无穷多解时,求出通解.

solution
对方程组的增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形,有
\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a-3 & -2 & b \\ 3 & 2 & 1 & a & -1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a-3 & -2 & b \\ 0 & -1 & -2 & a-3 & -1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 & b+1 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 & 0 \end{array}\right)
由此可知:

  1. 当 {a \neq 1} 时,方程组有唯一解,且解为
    { \left\{\begin{array}{l} x_{1}=\dfrac{-a+b+2}{a-1} \\ x_{2}=\dfrac{a-2 b-3}{a-1} \\ x_{3}=\dfrac{b+1}{a-1} \\ x_{4}=0 \end{array}\right. }
  2. 当 {a=1,b \neq-1} 时,方程组无解.
  3. 当 {a=1,b=-1} 时,方程组有无穷多解,且通解为
    { \left\{\begin{array}{l} x_{1}=x_{3}+x_{4}-1 \\ x_{2}=-2 x_{3}-2 x_{4}+1 \end{array}\right. }
    其中 {x_{3},x_{4}} 为自由末知量.

(西安电子科技大学,2021)设
{ A=\left(\begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda \end{array}\right),b=\left(\begin{array}{l} a \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) . }
已知线性方程组 {A X=b} 存在 2 个不同的解.

  1. 求 {\lambda,a} 的值;
  2. 求线性方程组 {A X=b} 的通解.

solution

  1. 首先由于方程组 {A X=b} 存在 2 个不同的解,所以 {|A|=(\lambda-1)^{2}(\lambda+1)=0},即 {\lambda=\pm 1}.而对 方程组的增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形,有
    \left(\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & 1 & a \\ 0 & \lambda-1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \lambda & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 1-\lambda^{2} & a-\lambda \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \lambda & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda^{2} & a-\lambda+1 \end{array}\right)
    当 {\lambda=1} 时,根据上述阶梯形可知方程组无解,所以 {\lambda=-1},且 {a-\lambda+1=0},进而 {a=-2}.
  2. 由于第1问中的阶梯形为
    { \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) }
    所以方程组 {A X=b} 的通解为
    { \left\{\begin{array}{l} x_{1}=x_{3}+\dfrac{3}{2} \\ x_{2}=-\dfrac{1}{2} \end{array}\right. }
    其中 {x_{3}} 为自由末知量.

note
上述方程组AX=b至多存在多少个线性无关的解向量?(提示:n-r+1=2个)

公共解与同解问题

(合肥工业大学,2021)设线性方程组
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0 \end{array}\right.
与方程 {x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1} 有公共解,求参数 {a} 的值及所有的公共解.

solution
根据已知,显然方程组
{ (I)\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ x_{1}+4 x_{2}+a^{2} x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=a-1 \end{array}\right. }
有解,且此方程组的解即为两个方程组的公共解.对方程组 {(I)} 的增广矩阵进行初等行变换,化为阶梯形,有
\begin{array}{c} \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & a & 0 \\ 1 & 4 & a^{2} & 0 \\ 1 & 2 & 1 & a-1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & 3 & a^{2}-1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a-1 \end{array}\right) \\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a-1 \\ 0 & 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 0 & a^{2}-1 & 3-3 a \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a-1 \\ 0 & 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 0 & 0 & (a-2)(a-1) \end{array}\right) \end{array}
由此可知 {a=2} 或 {a=1}.

当 {a=2} 时,由上述阶梯形可知方程组 {(I)} 的解为
x_{1}=0,x_{2}=1,x_{3}=-1 .

当 {a=1} 时,由上述阶梯形可知方程组 {(I)} 的通解为
x_{1}=-x_{3},x_{2}=0 .
其中 {x_{3}} 为自由末知量.

(浙江师范大学,2021)若方程组
\left\{\begin{array} { l } { x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } + 3 x _ { 3 } = 0 ; } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + 5 x _ { 3 } = 0 ; } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } + a x _ { 3 } = 0 } \end{array} \text { 与 } \left\{\begin{array}{l} x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0 ; \\ 2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0 . \end{array} \quad\right.\right.\text { 同解.}
则 {a,b,c} 分别为(\qquad)

solution
设两个方程组的系数矩阵分别为 {A_{3 \times 3},B_{2 \times 3}},由于方程组 {A X=0} 与 {B X=0} 同解,所以方程组 {B X=0} 与 {\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right) X=0} 同解,进而 {r\left(\begin{array}{c}A \\ B\end{array}\right)=r(B) \leqslant 2},现在对 {\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)} 进行初等行变换化为阶梯形:
\left(\begin{array}{c} A \\ B \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & a \\ 1 & b & c \\ 2 & b^{2} & c+1 \end{array}\right) \longrightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & a-3 \\ 0 & b-2 & c-3 \\ 0 & b^{2}-4 & c-5 \end{array}\right) \longrightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a-2 \\ 0 & 0 & c-b-1 \\ 0 & 0 & c-b^{2}-1 \end{array}\right) .
由此可知 {r\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right)=r(B)=2},且
{ a-2=0,c-b-1=0,c-b^{2}-1=0 }
解得 {a=2,b=0,c=1} 或 {a=2,b=1,c=2}.但当 {a=2,b=0,c=1} 时,有
{ r(B)=r\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 &1 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right)=1 \neq 2 }
这是矛盾的,所以 {a=2,b=1,c=2}.