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第三章 微分中值定理与导数的应用

第八节 方程的近似解

求方程的近似解：

1. 根的隔离：确定根的大致范围，具体地说，就是确定一个区间[a,b]，使所求的根是位于这个区间内的唯一实根——区间[a,b]称为所求实根的隔离区间；

2. 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似解。

方法：

1. 二分法

2. 切线法
   

一、二分法

步骤：

1. 设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且方程f(x)=0在(a,b)内仅有一个实根ξ，于是[a,b]即是这个根的一个隔离区间；

2. 取[a,b]的中点ξ1=(a+b)/2，计算f(ξ1)；

3. 分类讨论：

1. 如果f(ξ1)=0，那么ξ=ξ1；

2. 如果f(ξ1)与f(a)同号，那么取a1=ξ1，b1=b，由f(a1)f(b1)<0，即知a1<ξ<b1，且b1-a1=(b-a)/2；

3. 如果f(ξ1)与f(b)同号，那么取a1=a，b1=ξ1，由f(a1)f(b1)<0，即知a1<ξ<b1，且b1-a1=(b-a)/2；

   ——总之，当ξ≠ξ1时，可求得a1<ξ<b1，且b1-a1=(b-a)/2；

4. 以[a1,b1]作为新的隔离区间，重复上述做法，当ξ≠ξ2=(a1+b1)/2时，可求得a2<ξ<b2，且b2-a2=(b-a)/2^2；

5. 如此重复n次，可求得an<ξ<bn，且bn-an=(b-a)/2^n，由此可知，如果以an或bn作为ξ的近似值，那么其误差小于(b-a)/2^n。
   

二、切线法

切线法：用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法——如果在纵坐标与f"(x)同号的那个端点作切线，这切线与x轴的交点的横坐标x1就比x2更接近方程的根ξ。