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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

若查看数学公式不全或显示错误

可以查看：MML学习笔记（十三）：线性方程组的解的结构

4.4 线性方程组的解的结构

解向量

设有齐次线性方程组

记

有

$Ax=\boldsymbol0$

若$x_1=\zeta_{11},x_2=\zeta_{21},....,x_n=\zeta_{n1}$为方程的解，则

称为方程组的解向量（所有解中的一个解，在有解的情况下）

性质1

若$x=\zeta_1,x=\zeta_2$都为方程$Ax=\boldsymbol0$的解，则$x=\zeta_1+\zeta_2$也是方程$Ax=\boldsymbol0$的解

证明：

因为$x=\zeta_1,x_2=\zeta_2$为方程$Ax=\boldsymbol0$的解

所以

$A\zeta_1=\boldsymbol0,A\zeta_2=\boldsymbol0$

那么

$A(\zeta_1+\zeta_2)=A\zeta_1+A\zeta_2=\boldsymbol0+\boldsymbol0=\boldsymbol0$

所以$x=\zeta_1+\zeta_2$也是方程$Ax=0$的解

性质2

若$x=\zeta_1$为方程$Ax=\boldsymbol0$的解，$k$为实数，则$x=k\zeta_1$也是方程$Ax=\boldsymbol0$的解

证明:

因为$x=\zeta_1$为方程$Ax=\boldsymbol0$的解

所以有

$A\zeta_1=\boldsymbol0$

那么

$A(k\zeta_1)=k(A\zeta_1)=k*\boldsymbol0=\boldsymbol0$

所以$x=k\zeta_1$也是方程$Ax=\boldsymbol0$的解

通解（齐次线性方程组）

方程$Ax=\boldsymbol0$的全体解所组成的集合记作$S$

若$S$中存在一个最大无关组$S_0:\zeta_1,\zeta_2,...,\zeta_t$，

使得方程$Ax=\boldsymbol0$的任一解都可以由$S_0$线性表示；

另一方面，$S_0$的任意线性组合$x=k_1\zeta_1+k_2\zeta_2+....+k_t\zeta_t$都是方程$Ax=\boldsymbol0$的解

所以$x=k_1\zeta_1+k_2\zeta_2+....+k_t\zeta_t$称为通解

基础解系（齐次线性方程组）

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系

若要求齐次线性方程组的通解，则只需要求出它的基础解系

定理7

设$m×n$矩阵$A$的秩$R(A)=r$，则$n$元齐次线性方程组$Ax=\boldsymbol0$的解集$S$的秩$R(S)=n-r$

举例

例12

求齐次线性方程组$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 -x_4=0\\ 2x_1 - 5x_2 + 3x_3+2x_4=0\\ 7x_1-7x_+3x_3+x_4=0 \end{cases}$的基础解系与通解

解答：

对系数方程进行初等行变换，得到行最简矩阵

从而

令$x_3=c_1,x_4=c_2$，有

得到通解

例13

设$A_{m×n}B_{n×l}=0$，证明$R(A)+R(B)\leq n$

证明：

令$B=(b_1,b_2,...,b_l)$，则有

$A(b_1,b_2,...,b_l)=(0,0,...,0)$

即

$Ab_i=0(i=1,2,...,l)$

说明$b_i$是齐次方程$Ax=0$的一个解（$B$中的每一个列向量都是方程$Ax=0$的解）

令方程$Ax=0$的解集为$S$

因为$b_i \in S(B \subseteq S，B是解集S的子集)$

所以

$R(b_1,b_2,...,b_l)\leq R(S)$

即

$R(B) \leq R(S)$

又由定理7可知

$R(A)+R(S)=n$

综上，得

$R(A)+R(B)\leq n$

例14

设$n$元齐次线性方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解，证明$R(A)=R(B)$

证明：

因为方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解，设其共同的解集为$S$

由定理7可知

$R(A)=n-R(S)$

$R(B)=n-R(S)$

所以 $R(A)=R(B)$

Note:当矩阵$A$与$B$的列数相等时，若需要证明$R(A)=R(B)$，则只需要证明齐次方程$Ax=0$与$Bx=0$同解

例15

证明：$R(A^TA)=R(A)$

证明：

由例14可知，若需要证明$R(A^TA)=R(A)$

则只需要证明齐次方程$Ax=0$与$(A^TA)x=0$同解

情况一：当$Ax=0$时

$(A^T)Ax=A^T(Ax)=A^T0=0$

说明x是两个方程的同一个解

情况二：当$(A^TA)x=0$时

有

$x^{T} (A^TA)x=0$

$x^TA^TAx=0$

$(Ax)^TAx=0$

则可以说明$Ax=0$

矩阵$A=0$的充分必要条件是方阵$A^TA=0$

综合情况一和二

可以知道方程$Ax=0$与$(A^TA)x=0$同解

性质3

非齐次线性方程组

也可以记作

$Ax=b$

设$x=\eta_1$及$x=\eta_2$都是方程$Ax=b$的解，则$x=\eta_1-\eta_2$是对应齐次方程$Ax=0$的解

证明：

因为$x=\eta_1$及$x=\eta_2$是方程$Ax=b$的解

有

$A\eta_1=b、A\eta_2=b$

那么

$A(\eta_1-\eta_2)=A\eta_1 - A\eta_2 = b - b = 0$

所以$x=\eta_1-\eta_2$是对应齐次方程$Ax=0$的解

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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