//本节详细介绍球坐标、柱坐标下的分离变量法，并引入贝塞尔方程和勒让德方程。
//前段时间事情实在太多，鸽了很久不好意思...我当然是没有忘记这里笔记没有更完的
//这个系列的定位仅仅是学习笔记，所以可能不会完整覆盖所有相关细节，而是注重对整体思路的把握。
I 球坐标的拉普拉斯方程
在球坐标系，拉普拉斯方程应写为如下形式：
尝试对其进行分离变量：
代入整理得到
两边自变量不同但恒等，说明它们等于同一个常数。不妨设常数为.
这是欧拉方程，只需作变量代换就不难解出其通解：
对于满足的方程，即球函数方程：
再次分离变量：
整理得到
从而得到
作变量代换，得到
阶连带勒让德方程：
如取，则得到
阶勒让德方程
(事实上，前面讨论中的是薛定谔方程解中的角量子数和磁量子数。)
II 柱坐标的拉普拉斯方程
在柱坐标系下，拉普拉斯方程为
仍然分离变量：
代入方程并化简得到
类似操作，得到：
再令 并按以下分类讨论：
①
则可以解得
②
则可以进行变换，并推出
阶贝塞尔方程：
③
则改为，得到虚宗量贝塞尔方程：
至此我们从球坐标和柱坐标引出了两个重要常微分方程，勒让德方程和贝塞尔方程。接下来我们的讨论表明，波动、输运、稳定场三类PDE的求解都是可以归结到勒让德、贝塞尔方程的。
III 波动方程
对于波动方程，我们首先尝试分离出时间：
从而解出
\
并得到亥姆霍兹方程：
IV 输运方程
对于输运方程, 类似分析我们可以得到
V 亥姆霍兹方程
经过前面讨论，波动、输运方程将时间分离后均归结为亥姆霍兹方程。
接下来尝试对亥姆霍兹方程进行分离变量：
在球坐标，亥姆霍兹方程的形式为
设, 则经过计算可知
仍然满足球函数方程：
而另一个方程是阶球贝塞尔方程
如作变量代换则可以得到
阶贝塞尔方程：
而在柱坐标，类似地分离变量，得到
结合自然边界条件得，而对R仿照前面的讨论仍可以得到m阶贝塞尔方程。
总之，通过以上讨论，我们从几类PDE的求解中归类出了勒让德方程与贝塞尔方程两类重要的ODE，接下来将基于此研究球、柱坐标中的PDE求解。