11_根轨迹法-CSDN博客

根轨迹法的基本概率(*)

基本概率

根轨迹法:

三大分析校正方法之一

根轨迹:

系统某一参数由$0\to \infty$变化时，$\lambda$在$s$平面相应变化所描绘出来的轨迹

根轨迹法的特点：

• 图解方法，直观、形象
• 适合于研究当系统某一参数变化时，系统性能的变化趋势
• 近似方法，不十分精确

例1 系统结构图如图所示，分析$\lambda$随开环增益$K$变化的趋势

$$\begin{array}{rl}G(s)& =\frac{K}{s(0.5s+1)}=\frac{K^{\ast }=2K}{s(s+2)}\\ & \{\begin{array}{l}K:开环增益\\ K^{\ast }:根轨迹增益\end{array}\\ \Phi (s)& =\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{K^{\ast }}{s^2+2s+K^{\ast }}\\ D(s)& =s^2+2s+K^{\ast }=0\\ {\lambda }_{1,2}& =-1\pm \sqrt{1-K^{\ast }}\end{array}$$

• 根据根轨迹，可以大致对系统的动态性能和稳定性做出判断
• 开环传递函数为首1标准型时，对应的系数$K^{\ast }$为根轨迹增益(没有闭环的根轨迹增益)

根轨迹方程及其含义

$$\begin{array}{rl}G(s)& =\frac{K^{\ast }}{s-p}\\ \Phi (s)& =\frac{G(s)}{1+G(s)}\\ D(s)& =1+G(s)=0\\ G(s)& =-1,根轨迹方程\\ & \{\begin{array}{l}|G(s)|=\frac{K^{\ast }}{|s-p|}=1\\ \angle G(s)=-\angle (s-p)=(2k+1)\pi \end{array}\end{array}$$
一般情况下
$$\begin{array}{rl}G(s)H(s)& =\frac{K^{\ast }(s-z_1)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}=\frac{K^{\ast }{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-p_j)}\\ \Phi (s)& =\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\\ G(s)H(s)& =\frac{K^{\ast }(s-z_1)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}=-1,根轨迹方程\\ |G(s)H(s)|& =\frac{K^{\ast }|s-z_1|...|s-z_m|}{|s-p_1||s-p_2|...|s-p_n|}=\frac{K^{\ast }{\prod }_{i=1}^m|s-z_i|}{{\prod }_{j=1}^n|s-p_j|}=1模值条件\\ \angle G(s)H(s)& =\sum _{i=1}^m\angle (s-z_i)-\sum _{j=1}^n\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi 相角条件\end{array}$$

例2 判定$s_i$是否为根轨迹上的点

$$\begin{array}{rl}G(s)& =\frac{K\ast }{(s+1)(s+5)}\\ 根轨迹方程:& G(s)=-1\\ 模值条件:& K^{\ast }=|s+1||s+5|\\ 相角条件:& -\angle (s-p_1)-\angle (s-p_2)=(2k+1)\pi \\ {\Delta }_1& =-2\{\begin{array}{l}{K}_{{\Delta }_1}^{\ast }=|-2+1||-2+5|=3\surd \\ -\angle (-2+1)-\angle (-2+5)=-180-0=-180\surd \end{array}\\ {\Delta }_2& =-8\{\begin{array}{l}{K}_{{\Delta }_2}^{\ast }=|-8+1||-8+5|=21\surd \\ -\angle (-8+1)-\angle (-8+5)=-360\times \end{array}\\ {\Delta }_3& =-7+j4\{\begin{array}{l}{K}_{{\Delta }_3}^{\ast }=|-7+j4+1||-7+j4+5|=32.25\surd \\ -\angle (-7{+}_{j}4+1)-\angle (-7+4j+5)\ne (2k+1)\pi \times \end{array}\\ {\Delta }_4& =-3+j3\{\begin{array}{l}{K}_{{\Delta }_4}^{\ast }=|-3+j3+1||-3+j3+5|=13\surd \\ -\angle (-3+j3+1)-\angle (-3+j3+5)=-180\surd \end{array}\end{array}$$

• 对$s$平面上任意的点，总存在一个$K^{\ast }$,使其满足模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点
• $s$平面上满足相角条件的点(必定满足模值条件)一定在根轨迹上
• 满足相角条件是$s$点位于根轨迹上的充分必要条件
• 根轨迹上某点对应的$K^{\ast }$值，应由模值条件确定

绘制根轨迹的基本法则(重点)

法则1: 根轨迹的起点和终点

根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环极点的个数n大于开环零点个数m，则有n-m条根轨迹终止于无穷处

法则2: 根轨迹的分支数，对称性和连续性

根轨迹的分支数=开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴

• 根轨迹对称于实轴，是因为根轨迹方程的解要么是单根要么是共轭的复数

法则3: 实轴上的根轨迹:

从实轴上最右端的开环零、极点算起，奇数开环零、极点到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。

根轨迹的相角关系由极点和零点共同决定

本质上是满足了相角条件
$$\angle G(s)H(s)=\sum _{i=1}^m\angle (s-z_i)-\sum _{j=1}^n\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi 相角条件$$

法则4: 根之和: ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=C(n-m\ge 2)$

$n-m\ge 2$时，闭环根之和保持一个常值

例题

例3

两个开环极点一个开环零点的常见根轨迹

法则5: 渐进线: $\{\begin{array}{l}{\sigma }_a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{p}_i-{\sum }_{j=1}^m{z}_i}{n-m}\\ {\phi }_a=\frac{(2k+1)\pi }{n-m}\end{array}$

• n>m时，n-m条根轨迹趋近于无穷远处的规律

• ${\sigma }_a$是渐近线与实轴的交点(${\sigma }_a$的求解本质上是法则四:根之和)

• ${\phi }_a$是渐近线与实轴的夹角(${\phi }_a$的求解满足相角条件)

法则6: 分离点d: ${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{d-p_i}={\sum }_{j=1}^m\frac{1}{d-z_j}$(对应重根)

• 求分离点的本质是求重根所在的点，根据有重根时式子的特点，有以上推导
• 重根减去极点的倒数之和等于重根减去零点的倒数之和

法则7: 与虚轴交点: $\{\begin{array}{l}系统临界稳定点\\ s=jw是根的点\end{array}$

• 临界稳定点与$s=jw$是根的点无本质区别
• 若渐近线过虚轴，则虚轴上必有对应的根(根轨迹的连续性)
• 令$D(jw)=0$，也就是在$s=jw$处的特征方程为零，求出的根即为根轨迹与虚轴的交点

法则8: 出射角/入射角: ${\sum }_{j=1}^m\angle (s-z_j)-{\sum }_{i=1}^n\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi$

• 即满足相角条件

广义根轨迹

参数根轨迹

除$K^{\ast }$之外其他参数变化时系统的根轨迹

例题

零度根轨迹

系统实质上处于正反馈时的根轨迹

• 仅相角条件改变

• 对应绘制根轨迹的法则3、5、8改变(都与相角条件有关)

例题

关于根轨迹对称性的一个定理

若开环零极点均为偶数个，且关于一条平行于虚轴的直线左右对称分布，则根轨迹一定关于该直线左右对称。

总结

• 关于根轨迹，首先得区分零点、极点、根的概念

  • 零点、极点、根其实是复变函数中的概率

  • 根轨迹法中的零点极点指的开环传递函数的零点极点

  • 根则是令闭环传递函数的特征根$D(s)=0$, 也是闭环传递函数的极点

  • 从这个角度根轨迹其实就是闭环传递函数极点的轨迹

  • 而在之前的学习中，我们知道复域中每个极点都对应时域响应中的一个模态

  • 因此随着极点的变化，系统的响应也发生变化

  • 而与极点类似，零点对系统的响应也产生影响

• 关于根轨迹的绘制

  • 根轨迹的核心是$D(s)=0$，对于$180°$根轨迹有$G(s)=1$,对于$0°$根轨迹有$G(s)=-1$, 它们仅是相角条件不同
  • 模值条件

  $$|G(s)H(s)|=\frac{K^{\ast }|s-z_1|...|s-z_m|}{|s-p_1||s-p_2|...|s-p_n|}=\frac{K^{\ast }{\prod }_{i=1}^m|s-z_i|}{{\prod }_{j=1}^n|s-p_j|}=1模值条件$$

  • 相角条件
    $$\angle G(s)H(s)=\sum _{i=1}^m\angle (s-z_i)-\sum _{j=1}^n\angle (s-p_i)=(2k+1)\pi 相角条件$$

  • 8大基本法则需掌握

  • 在分析系统性能时，常用有(求分离点对应的$K^{\ast }$)

  $$K^{\ast }=\frac{{\prod }_{j=1}^n|s-p_j|}{{\prod }_{i=1}^m|s-z_i|}$$

• 根轨迹法相较于时域法，直接根据系统复域的值(零点极点)大致分析系统的性能, 是复域分析的一种方法(不用拉式反变换)

参考资料

【（新版！最清晰！去噪不炸耳！）自动控制原理 西北工业大学 卢京潮】