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题目大意：

回想大学教科书和课上一般没有专门的练习题在做TDU分解，所以猜测TDU分解是由几个学过的矩阵分解组合而成。本题考验考生对矩阵分解的熟练度、组合能力和对矩阵的直觉。

首先根据“T是正交矩阵”的条件可以想到A可以三角化为 A=TB 的形式，B为上三角矩阵，但B不是单位上三角矩阵，所以还需要对B进行额外的分解。

这里容易想到可对B进行LU分解，因为这里的B已经是三角阵了，所以分解出来的L必然是对角阵（可做成D）且L保持B的对角元素不变，并且根据LU分解的性质，U完美符合单位上三角阵的条件，可做成本题的U。

想到这里，我们还差最后一块拼图，如何保证D的所有的对角元素为正？——其实在正交化的过程中，只要不改变正交向量的方向（乘以-1）就能做到所有B的对角元素为正，从而保证L（即D）的对角元素为正。

对A的各个列向量进行Gram-Schmidt正交化，可直接确定一组正交基：

接下来对B进行LU分解，可得到：

不难证明，A=TDU可分的充要条件是：A为可逆矩阵。