如何理解常微分方程的通解、特解以及所有解？
求解常微分方程的几何意义就是，根据切线画出曲线。
求解常微分方程是有明确的几何意义的。我们下面就通过它的几何意义，来观察什么是通解、特解以及所有解。
在这个曲线上取几个点，作出点附近的切线：
根据微积分的思想，“以直代曲”，切线就是代替曲线的**直线。
所以我们可以看到，如果曲线上的点密集一点，切线就看起来很接近曲线了：
我要是把曲线去掉，你大概也能根据切线脑补出曲线的样子：
欧拉，给出了一个以他名字命名的欧拉方法，可以通过切线来画出曲线。
怎么作出切线呢？这个就是导数的方程，把导数作为斜率就可以画出切线。
我们举个最简单的例子吧，。我们随便选一点作为起始点：
不断重复以上步骤，我们可以得到一个折线段：
容易知道是的一个解，我把画出来看一下，会发现这两个的图像还是有点接近：
随着的缩小，图像就越来越接近（为了方便观看，我把点给去掉了）：
欧拉方法就是这样通过切线来把原来的曲线描绘出来的，这些连起来的折线，我们就称为欧拉折线。
欧拉折线肯定和曲线是有误差的，就好像泰勒级数和原来的曲线有误差一样，这里就不深入讨论了。
欧拉方法计算量其实还蛮大的（越小计算量越大），不过好歹人手还可以算。
有了计算机之后，我们就可以不管计算量了，所以就有了更有效的线素场。
其实说来也简单，我在平面上等距离取点：
然后以这些点为起点，根据画出切线，这就是线素场（或者称为斜率场）：
结合欧拉折线和线素场，我们就可以开始分析通解、特解和所有解了。
我们通过来继续讲解。这个微分方程的通解还是很容易求的，就是：
知道通解之后我们通过图像来验证下。
指定的位置，可以画出不同的欧拉折线（大家可以观察到，有了线素场之后，就算没有欧拉折线，我们大概也可以脑补曲线的样子）：
不同的，就相当于不同的初始值。不同的初始值得到的欧拉折线都是的一个特定的解（这里不用特解这个词，因为同济大学的书上的定义，特解是通解的一个特定解）。
这些对应：
容易观察到，还有一个解是通解里面没包含的，这就是：
你可以手动拖动下，看看可以得到怎样的解：
有的同学说，如果我把的通解写作：
此时，是任意常数。然后我们做个变形：
所以，按照书上的定义，并不能称为通解。
当然，让，正好可以得到这个解，实际上是一个巧合。
让我们另外举一个例子，就可以规避这种巧合：
自己动手来试试这个微分方程（橙色曲线是某个特解，可以通过拖动条来改变；蓝色曲线是欧拉折线，可以拖动来改变）：