上面已经用例子说明怎样用列举元素的办法来表示一个集.但是当一个集的全部元素无法列举的时候这个集应该怎样表示呢?在集论发展的初期流行的习惯是把一个集说成是“所有满足某条件的事物的全体”.如果把“某个事物x满足某条件”这句话表示成一个逻辑公式p(x)那末按照所说的这种习惯表示法一个集可以记作{x|p(x)}或{x:p(x)}(所有使p(x)成立的x的全体).一般往往认为只要所说的条件是明确的也就是对任何xp(x)和 (非p(x)就是p(x)的否定)有一个且只有一个成立那末这种表示法是没有问题的.可是实际上并不如此.下面举著名的罗素怪异当例子:
设 .如果z是集那末z也是事物因此z z和z z不能都成立.假定z z那末z应该满足所说的条件x x因此z z自相矛盾.假定z z那末z已经满足所说的条件x x因此z z又自相矛盾.这就叫罗素怪异.
为了回答这个问题集的概念必须进一步精密化因此下面介绍公理系统.