无解，而定理的另一个方向则是使用反证法：若 A {\displaystyle A}

的所有解写出来，具体的做法请见下文。

将一个增广矩阵经由列运算化约成阶梯形矩阵就已足够判断是否有解，但如果要将所有的解找出来，换言之要算出解集合，则需要再进一步的化减。

之外其他项都等于 0。

外其他项皆为 0。接着不断重复此操作，由下而上，将每列都作完操作，最终会得到一个简化阶梯形矩阵。

是一个阶梯形矩阵且每列的首项非 0 元素是其所在行的唯一的非零元素。

已经被化简成简化列阶梯形矩阵，并且假设 A {\displaystyle A}

的解都解出来。

的表式中不会有其他列的首个非 0 项。