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正方体ABCDA'B'C'D'有12条棱，选取其中6条棱，每条棱上取一点，使这6个点正好成为正八面体的6个顶点。(注：正八面体共有6个顶点。）

正方体与正八面体是对偶多面体，但这里我们不以对偶的方式构造。

可以从某顶点出发，比如就从点A出发，来进行构建。在与点A相邻的三条棱上分别取一点，使其到点A的距离都为棱长的四分之三，得到3个点：E、F、G。同理，对与点A相对的点C'进行类似的操作，得到另外3个点：E'、F'、G'。如下图所示，显然，位于正方体界面上的6条线段相等，即EF=FG=GE=E'F'=F'G'=G'E'。从正方体内部穿过的线段也有六条：EF'、EG'、FE'、FG'、GE'、GF'。这样一共得到12条线段，它们就是所要构建的正八面体的12条棱。下面我们来计算它们的长度，只有它们全都相等，才能真正说构建的是正八面体。

首先，求第一类线段的长度。可以以EF为代表。在三角形AEF中求EF的平方：

其次，求第二类线段的长度。以EF'为代表。在四面体EBCF'中求EF'的平方：

所以，EF=EF'。从而所得到的12条线段全都相等，从而构建出了正八面体。

一共能做出4个这样的正八面体。除上面从点A出发所做正八面体之外，其他三个可以分别从顶点B、C、D出发。您自己可以试一下。

那么，反之怎么做？也就是说，不用对偶的方法，如何从一个正八面体出发，构建一个正方体？

观察下图，可以发现，正方体的体对角线（比如AC'）一定经过正八面体某相对两界面中心。

并且，经过对上图的分析，发现正方体的体对角线的长度是正八面体相对界面中心连线长度的两倍。于是，我们可以进行了。

我们先任意画一个正八面体ABCDEF。如下图所示。选取某两个相对的正三角形界面，比如ABF和CDE。作出它们的中心P和Q。连接这两个中心点得线段PQ。向PQ两端延长出PQ长度的二分之一，得到两个端点S和U'。分别连接SA、SB和SF，并延长出它们长度的三分之一，得到点S'、T和V。则线段SS'、ST和SV就是所求作的正方体的三条互相垂直且相等的棱。点A、B和F分别是这三条棱上远离点S的四等分点。于是，从三条棱SS'、ST和SV出发，就可以作出一个正方体了。如下图所示，其中STUVS'T'U'V'就是所求作的正方体。

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