自动控制原理(上)_根轨迹分离点-CSDN博客

控制系统的分类:

恒值控制系统

程序控制系统

随动控制系统

控制系统的基本要求:

稳定性快速性准确性

系统的传递函数G(s) :输出和输入在零初始条件下的拉氏变换比

传递函数的分母多项式称为系统的特征式,,其最高阶次称为系统的阶次,,零特征式=0,称为特征方程

由传递函数可以看出,输入输出的关系只与系统本身的结构和参数有关

经典控制系统,,输出一般远大于输入

由于是分式,我们总可以把传递函数写成连乘的形式,即 $K\frac{\prod(s+z) }{\prod(s+p) }$

K为分子分母的最高次项系数之比

其中K称为增益,,-z称为系统的零点,-p称为系统的极点

拉氏反变换: 由于传递函数可以写成连城的形式,,我们采用部分分式发求解拉氏反变换

传递函数的意义: 有了系统的数学模型__传递函数,,,,和拉氏变换这个数学工具,可以很方便的求解系统在某个输入作用下的时间相应.

如果系统的初始条件不为零,如何求解系统的输出响应?-------假设已知系统的传递函数,通过传递函数求微分方程,再重新对微分方程求非零初始条件的拉氏变换,再带入初始条件,就可以得到非零初始条件下的输出与输入之间的关系了.

结构图环节的合并:

串联相乘,,并联相加

负反馈连接:

$\frac{G(s)}{1+H(s)G(s)}$

系统的偏差传递函数:

E(s)=R(s)-B(s) 则

$E(s)=\frac{1}{1+G1(s)G2(s)H(s)}R(s)+\frac{-G2(s)H(s)}{1+G1(s)G2(s)H(s)}D(s)$

其中R(s)为输入,D(s)为扰动,,D(s)在G1和G2之间插入

此时系统的开环传函(不是开环系统的传函)为 G1(s)G2(s)H(s)

根据线性叠加原理,当对复杂线性问题建模时,可先令非研究对象置零,逐一研究选定的研究对象,,最后再加起来就是结果

闭环系统的开环传递函数(环路传递函数): 是指把反馈节点断开后的环路增益G1(s)G2(s)H(s),,,区别于开环系统的传递函数G1(s)G2(s)

系统的稳定性必须满足有界输入,,有界输出

系统稳定的充分必要条件是----系统的特征根全部位于s平面的左半平面

时域判断方法有劳斯判据,,胡维茨判据

二阶系统阶跃响应的暂态过程时域性能指标:

步骤:假设已知闭环传函,则根据特征方程求出特征根,然后再带入到输出函数C(s)里,经过拉式反变换,可求出c(t),然后根据时域输出函数求性能指标,,,,,,,或者根据书上推到好的公式直接带入

具有零点的二阶系统:

当二阶系统增加一个零点后,,其超调量变大,,峰值时间和上升时间减小,,如果该零点靠近虚轴(出现该位置零极点相消),,其影响更加剧烈

高阶系统的时域分析:

闭环主导极点:该极点靠近虚轴,且其附近没有闭环零点(因为可能出现零极点相消),,其他极点到达虚轴是该极点到达虚轴的5倍以上

闭环主导极点的作用:由高阶系统的数学模型可以看出,特征根的实部越大,瞬态分量下降的就越快,,则使系统瞬态过程变缓的就是那些实部较小的极点了,忽略次要因素,抓住主要因素(工程思想),以主导极点为研究对象,可以简化数学模型

如果高阶系统中存在一个闭环主导极点,若主导极点使实数,则可以简化成一阶系统,若主导极点为共轭复数,则简化为二阶系统.

系统的稳态误差分析:

$E(s)=\frac{1}{1+G1(s)G2(s)H(s)}R(s)+\frac{-G2(s)H(s)}{1+G1(s)G2(s)H(s)}D(s)$

拉氏变换的初值定理和终值定理:

$\lim_{t->0_{+}}x(t)=\lim_{s->\propto }sX(s)$

$\lim_{t->\propto }x(t)=\lim_{s->0_{+} }sX(s)$

在时域里,稳态误差通常分析的是 ${t->\propto$ 时的响应,可以借助终值定理分析

根轨迹研究当系统的某一参数(根轨迹增益K)改变( $0\rightarrow \propto$ )时,系统的根轨迹(闭环极点)在复平面内如何变化

已知系统的闭环传函为:

$\frac{G(s)}{1+H(s)G(s)}$

则 1+H(s)G(s)=0 称为系统的特征方程,也称为系统的根轨迹方程

此时可以令 1+H(s)G(s)=0 以 $\frac{KB(s)}{A(s)}=-1$ 的形式呈现,其中B(s)为开环传函的分子多项式,A(s)为开环传函的分母多项式,K称之为根轨迹增益,其实就是分子分母最高次项之比

系统的闭环传函有多少个极点,就有多少条根轨迹(需要注意,,闭环传函极点数必然是等于开环传函的极点数的,可以证明)

系统的开环传函 H(s)G(s) 的极点就是系统根轨迹的起点(K=0时,根轨迹落在开环极点上)

系统的开环传函 H(s)G(s) 的零点就是系统根轨迹的终点(其中有m条根轨迹终止于零点,n-m条根轨迹终止于复平面无穷远点)

因为实际物理系统的特征方程的系数都是实数,所以其特征根要么是实数,要么是共轭复数,即系统的闭环极点在复平面上呈现关于实轴对称

实轴上的根轨迹必须满足其右侧的实数开环零极点总数为奇数(包括该根轨迹的起点)

输出阶数n>输入阶数m,,剩下n-m条根轨迹终止于无穷远点的方向需要由渐近线来判定

根轨迹的渐近线:

设渐近线与x轴正方向的夹角为 $\theta$ ,有公式 $\theta =\frac{\pm (2k+1)\pi }{n-m},k=0,1,2,...$ ,可以看出 $\theta$ 是交替出现的,也即n-m的个数就是渐近线的个数,,且渐近线是关于实轴对称的.

根轨迹与实轴的交点:

(开环极点之和-开环零点之和)/(n-m)

根轨迹的分离点和会合点:

分离点:指根轨迹在实轴相交后进入复平面的点

汇合点:指根轨迹由复平面进入实轴的交汇点

分离点和汇合点实质上就是闭环特征方程的重根,,当重根在实轴上时,分离点和汇合点就在实轴上,,,当重根为复数重根时,分离点和汇合点位于复平面上,

根轨迹的出射角与入射角

出射角:根轨迹在开环极点(起点)处的切线与正实轴的夹角

入射角:根轨迹在开环零点(终点)处的切线与正实轴的夹角

出射角入射角公式

根轨迹与虚轴的交点

参数根轨迹

正反系统的根轨迹:

与分反馈系统的根轨迹主要有以下三点不同:

(1)实轴上的根轨迹为其右侧的开环零极点数目之和为偶数(包括起点)

带有滞后环节的根轨迹与普通根轨迹有很大差别,因为在其环节之中多了一个 $e^{-\imath s}$ ,是的闭环特征方程不再是一个简单的代数方程(不研究)

根据闭环极点判断系统性能

系统中增加合适的开环零点可以改善系统的性能,,但是增加开环极点一定会削弱系统性能,增加开环极点后,系统根轨迹终止于复平面右半平面.

频域分析

求一个固有系统频率特性(响应)的步骤:

(1)求系统传递函数

(2)令

(3)把传递函数表达成 $re^{j\theta }$ 的形式,分别叫做幅频特性和相频特性

复数的代数形式: x+iy

复数的指数形式: $re^{j\theta }$

频率特性表示方法:
(1)幅相频率特性,奈奎斯特图,即随着w的变化,频率特性的幅值(摸)和相角随之变化 ,而复数(以点的形式)所有的点连成的曲线

(2)对数频率特性,伯德图,对频率特性两边取常用对数( $lgG(jw)=lgA(w)+j\varphi (w)lge---(lge=0.434)$ ),分为对数幅频特性(纵坐标为 L(w)=20lgA(w) ,横坐标为 lgw ),,对数相频特性(纵坐标为 $\varphi (w)$ ,且忽略了0.434这个系数,横坐标为 lgw ),

(3)对数幅相特性,尼科尔斯图,,以纵坐标为幅度,以横坐标为相位

经典控制中的典型环节:

比例环节,,惯性环节,,积分环节,,微分环节,,震荡环节,,时滞环节

比例环节

G(jw)=K

惯性环节的传递函数

$G(jw)=\frac{1}{Ts+1}$

lge=0.434

$20lg\sqrt{2}=3$

惯性环节的伯德图:

积分环节

$G(s)=\frac{1}{s}$

伯德图

理想微分环节:

G(s)=s

一阶微分环节

二阶微分环节:

震荡环节

时滞环节

频率域的稳定性分析

应用奈奎斯特图判断系统稳定性的判据:

对于一个阶系统,,当从 $-\infty \rightarrow +\infty$ 时,,由()(系统特征根)指向的向量的相角逆时针旋转 $n\pi$ ,,则该系统是稳定的

系统的闭环特征多项式是其开环传递函数的分子与分母的和

因为开环传递函数的分母阶次总是高于分子阶次,,,所以闭环传函特征多项式的阶次等于开环传函特征多项式的阶次

当开环系统稳定的时候,所对应的闭环系统稳定的条件是:

当从 $-\infty \rightarrow +\infty$ 时,开环频率特性 G(jw) 在奈奎斯特图上不包围 (-1,j0) 这一点,,所谓的包围,就是全封闭

当开环系统不稳定的时候,所对应的闭环系统稳定的条件是:

首先开环特征方程在复平面的右半平面有P个根,,则当从 $-\infty \rightarrow +\infty$ 时,开环频率特性 G(jw) 在奈奎斯特图上绕 (-1,j0) 这一点逆时针围绕P圈,,否则闭环系统就是不稳定的

缺点:需要在奈奎斯特图上绘制系统的开环频率特性,很麻烦

应用伯德图判断系统稳定性的判据:

频率域中的稳定裕量

如果开环系统传函没有极点位于s右半平面,那么闭环系统稳定的充要条件是,,开环系统频率特性不包围(-1,j0)这个点,,,

那么如果系统处于临界稳定的状态,,就意味着开环频率特性刚好经过(-1,j0)这个点..

数学语言

相位裕量:

相位裕量常用PM或者 $\gamma(w_{c})$ 表示:

$\gamma (w_{c})=\varphi (w_{c})+180^{\circ}> 0$

增益裕量:

增益裕量通常用GM表示:

$\frac{1}{\left | G(jw_{j}) \right |}=\frac{1}{\alpha }>1$

$GM=20lg\frac{1}{\alpha }=-20lgG(jw_{j})>0(dB)$

为了使系统有满意的性能,,相位裕量应在30~60°之间,,增益裕量应大于6dB

伯德定律:

对于最小相位系统,,当给出某一频率范围内的对数幅频特性时,则在该范围内的对数相频特性也就确定了,,,反之亦然.

某一频率 $w_{k}$ 处所对应的幅频特性斜率,,对该点处的相角位移 $\varphi (w)$ 起的作用是最大的

(1)bord图低频段特性斜率对相位裕量的影响

(2)bord图高频段特性斜率对相位裕量的影响

(3)开环频率特性放大系数对相位裕量的影响

对于中频段,,K越大斜率绝对值越大,相位裕量越小,一般令其斜率为-20dB/十倍频,,最高不超过-30dB/十倍频

对于低频段和高频段,建议有更大的斜率

幅值穿越频率 $w_{c}$ 的选择,取决于对系统瞬态响应速度的要求

中频段越长,,相位裕量越大

二阶系统闭环传函的标准形式为:

$\varphi (s)=\frac{w_{n}^{2}}{s^{2}+2\xi w_{n}s+w_{n}^{2}}$

它的特征根为:

$s_{1}_{,}_{2}=-\xi w_{n}+jw_{n}\sqrt[]{1-\xi ^2}$

可以看出极点(根)的模长为:

$w_{n}$

则在复平面上有:

$cos\beta =-\xi$

$\beta$ 表示极点的相角

相位裕量:

$\gamma (w_{c})=arctan\frac{2\xi w_{n}}{w_{c}}$

$w_{c}$ 可由幅频特性求出,,带入上式,,,但是过于复杂,,所以对于要求不高的系统,可对其进行线性化,即:

$\gamma (w_{c})=100\xi$

超调量:(两边都要加上%)

$\delta=e^{-\frac{\pi\xi }{\sqrt[]{1-\xi^{2}}}}$

调整时间:

$t_{s}=\frac{6}{w_{c}tan\gamma (w_{c})}~~~~~~(\xi<0.9)$

$t_{s}=\frac{3}{\xi w_{n}}~~~~~~(\xi<0.9)$

谐振峰值:

$M_{p}=\frac{1}{2\xi \sqrt[]{1-\xi^2}}$

谐振频率:

$w_{p}=w_{n}\sqrt[]{1-2\xi ^2}$

闭环传函频率特性的评价指标:

控制系统的设计

(1)时域性能指标

稳态值表,,动态指标

(2)频域性能指标

开环频域指标:

截止频率 w_c ,,相位裕量 $\gamma (w_c)$ ,,增益裕量

闭环频域指标:

闭环谐振峰值 $M_{p}$ ,,谐振角频率 $w_{p}$ ,,以及频带宽

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