《这篇文章适合六年级及以上的学生及学生家长，小学教师，中学老师； 任何童心未泯的老儿童，青壮年， 及任何一位希望重新温习一遍初等数学的数学教育者，爱好者。》

在《谈谈一元二次方程之二》中我们提到：假如我们被告知有一个形式如a+bi (复数的一般形式。这里，a, b 是两个实数)的数，它的平方是i， 那我们就能算出a是什么数， b是 什么数。

虚数i有两个平方根

用这样的计算思路，我们可以验证：对任何一个复数a+bi, 我们都可以找到两个复数x,使得这两个x的平方都是这个复数a+bi! 结合我们在《谈谈一元二次方程之二》中讲到的配方法， 我们现在就可以说: 任何的以复数为系数的一元二次方程都有两个复数根！换一个说法，任何的以复数为系数的一元二次多项式都可以在复数域里因式分解成两个一次多项式的相乘。这便是关于一元二次方程的代数基本定理。这个定理会引导我们发现下面的公式（归功于法国十六世纪的数学家韦达（Vieta））。

韦达公式的推导

韦达公式有着美妙的科学意义：对一个给定的一元二次方程，我们也许不能写出它的两个解（技术上太难：比如有同学还没学习过复数或者实数），但我们能得到有关解的部分性质(partial information)：我们知道两个解的和，也知道两个解的积！

你也许会说：学过了复数后，我们把一元二次方程解出来就好了，何必劳烦用韦达公式来求两个解的和，两个解的积呢？是的，一元二次方程没什么可怕的：我们运用复数的定义加上配方的技术就能证明一元二次方程的代数基本定理！但是三次方程，四次方程，甚至更高次方程呢？一元二次方程的韦达公式的推导对我们有很好的指导意义。

我们首先考虑下面这个问题：

复数解的存在性问题

答案是肯定的（n=2时我们已经证明了！）---一个一元n次方程总有n个根(可能有重复的根)。这个结果被称为关于一元多次方程的代数基本定理！需要提醒大家的是：对一般的自然数n, 代数基本定理的证明要等到大学数学系二年级的复变函数课里才给出！

由代数基本定理，我们就可以像二次方程那样来推导韦达的公式。

韦达的两个根与系数的关系式

高次方程一般不容易解出所有的复数根。这个时候韦达定理给出的部分信息就很有意义了。不信的话，我们来试试下面的练习。

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