初中数学名师视频课程讲解：一元二次方程的整数根。

1. 黄炜，北京四中数学老师。

2. 朋友们好，各位到现在为止应该说一元二次方程的核心内容都已经复习过了，复习了一元二次方程的解法以及一元二次方程的解法，还有判别式以及一元二次方程的应用等，各种东西都 ok 了。

3. 下面今天这节课要讲一个与一元二次方程有关的专题讲解，把它称为一元二次方程的整数根问题。这个问题说实话挺有难度的，而且类型还比较多，所以造成了每一次遇到整数根问题的时候很多同学就有点犯怵。但我想说，什么事你越怕它，你越躲着它，它越欺负你，你别怕它，你跟它较量，把它拿下。来看整数根问题，这一讲讲完以后希望每一个同学都非常有信心的以后再去面对它。

4. 在这一块我想提醒的一个易错的就是在解决整数根问题时还是不要忽略了对二次项系数的讨论，有时候一忙起来就容易把这个事给忘了。二次项系数是否为零，也就说它到底是一个一元二次方程还是一元一次方程，这是我强调了好多好多次的地方，所以这一块一定引起重视，千万不要掉以轻心。

5. 比如来看这样一个题，关于 x 的方程，(a-1)x×(x²+2x-(a-1))=0 的根都是整数，求符合条件的 a 的整数值。注意根都是整数，关于 x 的方程可是一元二次方程了吗？没有。所以这道题需要先讨论讨论，本着简单的原则先讨论什么？a-1 是否等于零？是。先讨论是，本着简单的原则等于零才是好讨论了对不对？对。若 a-1=0，那么也就是 a=1，a=1 这就没了，这是 2x-2=0，所以 x=1。看来 a=1 符不符合？符合，a=1 符合。若 a-1≠0，注意 a-1≠0 也就是 a≠1，这个时候很显然就是一元二次方程。

6. 对于一元二次方程来说，一元二次方程的解都是整数，这就是整数根问题。怎么来求解？老唐说那我就求公式求，又忘了，我说过含参的一元二次方程求解的时候先考虑什么方法？因式分解，先考虑因式分解这个行不行？可以，试一下，这是 a-1，所以就只能拆成 1，a-1 没问题，这是-(a-1)，可以写成-a+1，没错吧？对，是不是-1+1？对。怎么拆？试一下，-1，-1，a+1，a+1 可不可以？可以，试一下，上乘下乘，就得到-a+a+1，所以等于 2，正合适。也就是说方程可以分解成(x-1)×((a-1)x+(a+1))=0，所以 x1=1，x2=-(a-1)分之(a+1)。

7. 到这了，接下来的任务就是考虑当 a 为什么整数的时候，这两个根都是整数，这个已经是整数了，所以只需要考虑它了，对吗？对。坐这的时候注意老师教一个办法，这个办法待会还会用到，把它称为分离常数或者分离常数，记下来。分离常数怎么分离？请看这个式子，可以把它拆成负的分母是 a-1，上面是 a+1，把它写成 a-1 加 2，可以吧？可以，所以拆开以后就变成了-1 减去 a-1 分之 2，行了。这个时候再对 a 是什么整数来讨论，显然就容易多了，也就是只需要考虑的是 a 为什么整数的时候，这个式子也是整数，容易讲清楚了吧？a 可以是什么？先说 1-1，要想象它是整数也就是 a-1 必须得是 2 的约数，对吗？对。注意有没有正负，没有说，就是 a-1 是 2 的约数有 1，-1，2，-2，可以吧？1，-1，2，-2，由此解得 a 应该等于 2，0，3，-1，没错，2，0，3，-1，这四个行不行？是都可以还是有些不行？现在只要求 a≠1，显然这里边不包含 1，也就是这四个怎么样都行，都是可信的，这四个 2，0，3，-1 都是可以的。综上这道题最后的 a 的答案几个？五个，这有四个，还有一个 a 上面还有 a=1，所以一共有五个 a 都能够让它的根为整数。

8. 朋友们，这个题说完了，说了半天，想应该马上总结一下这个题，可以从这几个方面来总结。

- 第一，关于 x 的方程还是要注意对二次项系数的讨论应该如何来讨论。

- 第二，当面对整数根问题的时候，面对整数根问题的时候是不是还是可以考虑先把利用十字相乘把根给求出来，注意把类似这样的根称为有理根，称为有理根，对吧？它真是有理，称为有理根，也就是一旦面对的是有理根问题的时候就可以考虑分离常数来做。

这道题先说到这，待会还会遇到类似的问题，再帮助大家把它巩固起来。