k重特征值必有k个线性无关的_线性代数总结（1）-CSDN博客

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线性方程组与矩阵

初等行列变换

把一个方程的倍数加到另一个方程
交换两方程位置
用一个非零数乘某方程

名词

阶梯形方程组与简化阶梯形方程组
增广矩阵与系数矩阵
零矩阵（元素全为0）方阵（m级矩阵）
主元：非零行从左数起第一个不为0的元素
主变量：以主元为系数的未知量
自由未知量：除主变量外的其余未知量
一般解：对于解
，其一般解为

行列式

矩阵与行列式

行列式都是n阶的，只有矩阵才mxn
矩阵A的行列式记作|A|、det(A)

n元排列

n个不同自然数的一个全排列
顺序、逆序、逆序数：以4元排列2341为例
- 顺序有23等
- 逆序有21 31 41三对
- 逆序数：
奇排列：逆序数为奇数
偶排列：逆序数为偶数
对换：例如2341的3和1调换，其余不动，记作(3,1)
对换改变n元排列的奇偶性：变换一次即变性。证明：相邻对换，不断相邻从而拓展到一般对换

行列式计算

1 基础计算

展开式

例如：三阶行列式共3！项

上（下）三角行列式：主对角线下（上）方的元素全为0

2 行列式性质

转置，行列式的值不变。
- 转置记为
- 因此以下对于行的操作，对于列也成立
行列式一行的公因子可以提取出来
一行（a+c） = 两个 a + c
两行互换，行列式反号
两行相同，行列式值为0。所以两行成比例，行列式为0；一行倍数加到另一行上，行列式值不变

3 行列式按一行（列）展开

余子式：

(i,j)元的余子式记作

。以(i,j)元为中心，划去该行该列剩下的行列式

代数余子式：

(i,j)元的代数余子式

。（移到第一项）

n阶行列式A的计算：（一行/一列）
行列式第i行元素与第k行相应元素的代数余子式的乘积之和为0（相当于把第k行元素换成了第i行，列同）

4 行列式按k行（列）展开

以5阶行列式

为例

k阶子式：任选k行、k列，记为
- 二阶子式，选1、2行与4、5列，记为
k阶子式的余子式，记为
- 上述二阶子式的余子式
代数余子式：
- 上述二阶子式的代数余子式
拉普拉斯定理：对于行列式
：选取k行/k列，则这k行/k列元素形成的所有k阶子式与它们各自的代数余子式的乘积之和等于

5 范德蒙行列式

数域

定义

设K为复数集的一个子集
K满足
(K对于加减乘除四种运算封闭) 即任意
，都有

例子：有理数集Q 实数集R 复数集C

向量空间

数域K上的n维向量空间

定义

满足加法运算、数量乘法运算
满足8条运算法则

名词

元素：n维向量
分量：
是向量

的第i个分量
行向量、列向量
行向量组、列向量组

向量组

线性组合：
是

的一个线性组合
线性表出：
则称

可以由

线性表出
线性相关、线性无关向量组
- 线性组合等于零向量：
- 向量组线性相关：
  不全为0
- 向量组线性无关：
  全为0
向量组等价：
- 向量组1 与向量组2 等价：记作
- 向量组1的每一个向量，都可以由向量组2线性表出
- 向量组2的每一个向量，都可以由向量组1线性表出
- 性质：反身性、对称性、传递性

秩

向量组的秩

极大线性无关组：
- 向量组的部分组
- 这个部分组线性无关
- 从向量组的其余向量中任取一个添加进去，得到的新部分组都线性相关
向量组的秩：向量组的极大线性无关组所含向量个数
全由零向量组成的向量组的秩：0
向量组
的秩记为
引理：一个向量组可以由另一个线性表出
- 向量组
  可以由向量组
  
  线性表出
  - 如果
    ，则向量组
    
    线性相关
  - 如果
    线性无关，则
    - so，等价的线性无关向量组所含向量个数相等
      - so，向量组任意两个极大线性无关组所含向量个数相等
延伸组与缩短组
- 向量组线性无关，延伸组线性无关
- 向量组线性相关，缩短组线性相关

矩阵的秩

矩阵的行秩与列秩的统称，记为
（对矩阵A）
列秩：矩阵列向量组的秩；行秩：矩阵行向量组的秩
矩阵的初等行列变换不改变秩：因为等价向量组有相同的秩
矩阵的行秩 = 列秩：阶梯型矩阵+延伸组证明
- 行列秩均等于J的非零行个数
- J的主元所在的列，构成列向量组的一个极大线性无关组。（转置，行一样）

解线性方程组

解的情况：无解、唯一解、无穷解

解情况的判别

1 矩阵

线性方程若有解，则称它相容的，否则称不相容的。
增广矩阵经过初等行变换后，s个方程，r个非零行，n个未知量，判断该方程组是否有解：

齐次线性方程组
- 定有零解
- 若有非零解则定有无穷解
- 上述法则：
  定无穷解，从而
  
  定无穷解

2 行列式：克莱姆法则

1 n个方程的n元线性方程组：
- 有唯一解：行列式
- 无解或无穷解：
- 对于齐次线性方程组，
  则有无穷解
2 若n个方程的n元线性方程组有唯一解，该解为：

是系数行列式

3 向量组

问题定义：常数项列向量
能否由系数矩阵的列向量组线性表出（

即为列向量组的系数）
判断有无解
- 线性方程组有解的充要条件：系数矩阵和增广矩阵有相同的秩
  - 若线性方程组有解：
    - 当系数矩阵的秩等于未知量个数时，唯一解
    - 当系数矩阵的秩小于未知量个数时，无穷解
齐次线性方程组
- 系数矩阵的列向量组
  - 线性相关：有非零解
  - 线性无关：只有零解
- （从行列式看）因此，可得系数行列式结果
  - 线性相关：系数行列式 = 0
  - 线性无关：系数行列式 ≠ 0
- 延伸组与缩短组
  - 向量组线性无关，该向量组的延伸组也线性无关
  - 向量组线性相关，该向量组的缩短组也线性相关