目录

一、基本概念和性质

特征向量和特征值
设A为n阶矩阵， λ \lambda λ是一个数，如果存在n维非零列向量，使得 A ξ = λ ξ A\xi = \lambda \xi Aξ=λξ那么称 λ \lambda λ为A的特征值， ξ \xi ξ为对应的特征向量

特征值性质
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tips:迹是矩阵的主对角线的值之和
特征向量性质

  1. k重特征值 λ \lambda λ最多有k个线性无关的特征向量
  2. 如果 ξ 1 , ξ 2 \xi_1, \xi_2 ξ1​,ξ2​属于不同的特征值 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1​,λ2​的特征向量，那么他们线性无关，尽管他们可能在值上完全相等
  3. 如果 ξ 1 , ξ 2 \xi_1, \xi_2 ξ1​,ξ2​属于同一的特征值 λ \lambda λ的特征向量，那么 k ξ 1 + k ξ 2 k\xi_1+k\xi_2 kξ1​+kξ2​仍然是特征值 λ \lambda λ的特征向量
  4. 如果 ξ 1 , ξ 2 \xi_1, \xi_2 ξ1​,ξ2​属于不同的特征值 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1​,λ2​的特征向量，那么 k ξ 1 + k ξ 2 k\xi_1+k\xi_2 kξ1​+kξ2​不是A的特征向量

求解特征值和特征向量
特征方程法求解：用特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A|=0 ∣λE−A∣=0求出特征值 λ \lambda λ，再解齐次线性方程组 ( λ E − A ) x = 0 (\lambda E-A)x=0 (λE−A)x=0得特征向量。

另外，题目在求解其他要素时（比如说矩阵的秩，或者行列式的值）有时候会喜欢给出|bE-aA|的条件，需要联想到特征值，然后使用特征值的性质求解

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需要尤为注意的是 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP的特征值和A保持一致，但是特征向量变为了 P − 1 ξ P^{-1}\xi P−1ξ，这对求解相似矩阵的特征向量很有用。
另外，AT的特征值和A一致，但是特征向量需要单独计算

矩阵方阵考察特征向量

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二、矩阵的相似

1.定义
存在n阶可逆矩阵P，使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，则称A相似于B，记作A~B

2.相似矩阵的性质
如果A~B，则有：

  • r(A)=r(B)
  • |A|=|B|
  • tr(A)=tr(B)
  • 矩阵特征值相等
  • 矩阵特征值相等 → ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ \to |\lambda E-A|=|\lambda E-B| →∣λE−A∣=∣λE−B∣

以上性质在选择题中常用于排除，也可用于求解带未知数的A～B的式子

特殊性质

  • A ∼ B A\sim B A∼B可推导出 A m ∼ B m A^m\sim B^m Am∼Bm并且 f ( A ) = f ( B ) f(A)=f(B) f(A)=f(B)
  • A ∼ B A\sim B A∼B并且A可逆，则可推导出 A − 1 ∼ B − 1 A^{-1}\sim B^{-1} A−1∼B−1， A T ∼ B T A^T\sim B^T AT∼BT， A ∗ ∼ B ∗ A^*\sim B^* A∗∼B∗
  • A ∼ B A\sim B A∼B可推导出 A m ∼ B m A^m\sim B^m Am∼Bm， f ( A ) ∼ f ( B ) f(A)\sim f(B) f(A)∼f(B)
  • A ∼ Λ , B ∼ Λ ⇒ A ∼ B A\sim \Lambda, B\sim \Lambda\Rightarrow A\sim B A∼Λ,B∼Λ⇒A∼B

由于矩阵的相似是由矩阵特征值相等推导而来的，所以相似矩阵之间的关系和特征值的运算规律有很大的关系

三、矩阵相似对角化

定义
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可相似对角化的条件
设A为n阶矩阵

  1. 充要条件

    • n阶矩阵A可相似对角化 ⇔ \Leftrightarrow ⇔A有n个线性无关的向量
    • n阶矩阵A可相似对角化 ⇔ n i = n − r ( λ E − A ) \Leftrightarrow n_i=n-r(\lambda E-A) ⇔ni​=n−r(λE−A)，ni是第i个特征值的重根个数
    • n阶矩阵A可相似对角化 ⇔ \Leftrightarrow ⇔A对于每个ki重特征值都有ki个线性无关特征向量

  2. 充分条件

    • n阶矩阵A为实对称矩阵 ⇒ A ∼ Λ \Rightarrow A\sim \Lambda ⇒A∼Λ
    • A有n个不同的特征值 ⇒ \Rightarrow ⇒矩阵A可相似对角化
    • A 2 = A ⇒ A^2=A \Rightarrow A2=A⇒矩阵A可相似对角化
    • A 2 = E ⇒ A^2=E \Rightarrow A2=E⇒矩阵A可相似对角化
    • r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1并且 t r ( A ) ≠ 0 tr(A) \neq 0 tr(A)=0

  3. 必要条件

    • A ∼ Λ ⇒ A\sim \Lambda \Rightarrow A∼Λ⇒ r(A)=非零特征值个数

  4. 否定条件

    • A ≠ O , A k = O ⇒ A\neq O,A^k=O \Rightarrow A=O,Ak=O⇒不可相似对角化
    • A的特征是全为k但是 A ≠ k E ⇒ A\neq kE \Rightarrow A=kE⇒A不可相似对角化

TIPS：可以通过给出 Λ \Lambda Λ和P-1来反求A

四、实对称矩阵和正交矩阵

实对称矩阵的性质
实对称矩阵上的矩阵元素对称，也就是aij=aji，AT=A
如果A为实对称矩阵，则

  • 特征值均为实数，特征向量均为实向量
  • 不同特征值对应特征向量正交（非实对称：不同特征值对应特征向量线性无关）
  • 可用正交矩阵相似对角化，也就是存在正交矩阵P使得 P − 1 A P = P T A P = Λ P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda P−1AP=PTAP=Λ

上述的最后一条最重要，这意味着实对称相似于对角阵可以用 P T A P = Λ P^TAP=\Lambda PTAP=Λ求解

正交矩阵的性质
如果A为正交矩阵，则：
A T A = E ⇔ A − 1 = A T A^TA=E\Leftrightarrow A^{-1}=A^T ATA=E⇔A−1=AT
因此AT、A-1、A*、-A是正交阵
若A，B为正交矩阵，则AB也是正交阵，而A+B不一定是

实对称矩阵也有相同性质：
如果A为实对称矩阵，则A-1,AT,A*都是实对称
但是不同在于：若A，B均为实对称，则A+B也是实对称，而AB不一定是实对称

五、题型

1.抽象型特征值和特征向量

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2.两矩阵相似的判别和证明

1.定义法
存在n阶可逆矩阵P，使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，则称A相似于B

2.用性质
A   B ⇔ r ( A ) = r ( B ) , ∣ A ∣ = ∣ B ∣ , t r ( A ) = t r ( B ) , λ A = λ B A~B\Leftrightarrow r(A)=r(B), |A|=|B|, tr(A)=tr(B), \lambda_A=\lambda_B A B⇔r(A)=r(B),∣A∣=∣B∣,tr(A)=tr(B),λA​=λB​

3.求可逆矩阵P使得 P A P − 1 = Λ PAP^{-1}=\Lambda PAP−1=Λ

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施密特正交化
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4.实对称矩阵相似对角化

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