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  我们知道，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。   实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。   关于特征值和特征向量，这里请注意两个亮点。这两个亮点一个是线性不变量的含义，二个是振动的谱含义。                                   ——《线性代数的几何意义》

  如果存在某个或某些向量在A作用之后，它只是伸长或者缩短，其位置仍停留在其原来张成的直线上，那么称之为A的特征向量，伸长或者缩短的倍数称为对应特征向量的特征值。公式表达为： A\overline v=λ\overline v ，\quad|A−λI|=0 \tag{1}   $N$ 个特征向量就是 $N$ 个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。

  在查找相关资料时，知乎马同学大佬讲解的非常详细，这里再总结一下！特征值和特征向量，称为一个特征空间，如果反复乘一个矩阵，该向量会越贴合最大值所对应的特征向量！引用马同学知乎中的一张图。 $\begin{bmatrix} x_{x+1} \\ y_{x+1}\\ \end{bmatrix} =A \begin{bmatrix} x_{x} \\ y_{x}\\ \end{bmatrix}$   该向量会沿着特征值最大的特征空间的方向！一个很重要的性质！有大佬上传了视频到YouKu上面。

  如果A为样本的协方差矩阵，特征值 $\lambda$ 的大小就反映了变换后在特征向量方向上变换的幅度，幅度越大，说明这个方向上的元素差异也越大，换句话说这个方向上的元素更分散。

  关于矩阵分解，就是为了得到特征值和特征向量，对于矩阵$A$可以对角化的话，可以通过相似矩阵进行下面这样的特征值分解： $A = P\wedge P^{-1}$ 其中$\wedge$为对角阵，$P$的列向量是单位化的特征向量。特征值就是拉伸的比例，特征向量确定了拉伸的方向。

  特征向量正交，这样变换后才能保证变换最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是变化最大的方向。

  矩阵特征值是对特征向量进行伸缩和旋转程度的度量，实数是只进行伸缩，虚数是只进行旋转，复数就是有伸缩有旋转。其实最重要的是特征向量，从它的定义可以看出来，特征向量是在矩阵变换下只进行“规则”变换的向量，这个“规则”就是特征值。

1） $A$ 和 $A^{T}$ 有相同的特征值，但是特征向量不一定相同 证明： $|\lambda E-A^{T}| = |\lambda E^{T}-A^{T}|=|(\lambda E - A)^{T}|=|\lambda E-A|=0$

2）若 $\sum|a_{ij}<1,j=1,2,...,n| \quad$ 且 $∑∣a_{ij}​∣<1,j=1,2,...,n,$ 则 $|\lambda_{k}| < 1$

3）若方阵的n个特征值为$\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} ​$，则有① $\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} =\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$​，也就是所有的特征值之和就为矩阵对角线元素之和；②$\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}=|A|$

4）互不相同的特征值 $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}$​对应的特征向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}$​线性无关

5）对4）进行补充，如果每个特征向量有多对特征值，那么这些特征向量也是线性无关的

6）$k$ 重特征根，对应的线性无关的特征向量的个数小于等于 $k$

其它性质： 1） $k\lambda$是 $kA$ 的特征值

2） $\lambda^{2}$ 是 $A^{2}$的特征值， $\lambda^{k}$ 是 $A^{k}$ 的特征值

3） $\frac{1}{\lambda}$ ​是 $A^{-1}$ 的特征值；$\frac{1}{\lambda}|A|$ 是 $A^∗$ 的特征值

参考文章： 1.特征值和特征向量 2.特征值（eigenvalue）特征向量（eigenvector）特征值分解（eigenvalue decomposition） 3.如何理解矩阵特征值？ 4.【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质