实对称矩阵的几个性质_实对称矩阵的性质-CSDN博客

性质 1

设一个实对称矩阵 $X$ ($X\in S^n$)，它的最大特征值为 ${\lambda }_{max}$，则满足性质：
$$\forall y\in R^n,\Vert y{\Vert }_2=1⟹y^{T}Xy\le {\lambda }_{max}$$

证明：

根据实对称矩阵的另外一个性质：
$$X=Q^T\Lambda Q$$
其中， $Q$ 为正交矩阵，即 $Q^{T}Q=I$，而 $\Lambda$ 为特征根的对角线矩阵。
$$\begin{array}{rl}{y}^{T}Xy=& y^T{Q}^T\Lambda Qy\\ =& U^T\Lambda U(U=Qy)\\ =& {\lambda }_1{u}_1^2+{\lambda }_2{u}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{u}_n^2\\ \le & {\lambda }_{max}(u_1^2+\cdots +u_n^2)\\ =& {\lambda }_{max}{U}^{T}U\\ =& {\lambda }_{max}{y}^T{Q}^{T}Qy\\ =& {\lambda }_{max}{y}^{T}y={\lambda }_{max}\end{array}$$

证毕. $\square$

其实用到了谱分解。

其他性质

• 实对称矩阵的特征根也为实数，特征向量为实向量。特别的，实对称矩阵 $A{A}^T$ 的特征根都为非负数。（特征根全部大于零才可逆）
• 实对称矩阵不同特征根对应的特征向量相互正交。
• 实对称矩阵都可以正交对角化，即对于实对称矩阵 $A$，存在一个正交矩阵 $\mathbf{P}$ 以及对角线矩阵 $\wedge$，使得**
  $$A=P\wedge P^T$$
• K 重特征根必有 K 个线性无关的特征向量。