【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质

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百木从森 2022-07-11 11:24:07 博主文章分类：宋浩B站线性代数课程笔记 ©著作权

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矩阵的特征值与特征向量

1 基本定义
2 性质
3 计算

例1
例2
例3

4 特征值与特征向量的性质

注意：由于已经过了大学要考线性代数的年纪，关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

1 基本定义

假设 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数$ 是方阵（基调：就是特征值和特征方程只试用于方阵），对于一个数 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_02$ ，存在非零列向量 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_03$ ，使得 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_04$ ，则称 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_02$ 为方阵的特征值， $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_03$ 称为对应于 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_02$ 的特征向量

$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_08$ 可以为0，但是特征向量不能为0
特征向量一定是列向量，而且是非零（参考最初矩阵相乘的七字口诀：中间相等，取两头）
在说特征向量的时候，要说对应于特征值的。也就是要先有特征值

根据定义进行推导： $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_09$ ，重点来啦，这里的 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_03$ 是非零向量，如果将其换成 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_11$ ，那么就是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_12$ ，也就变成了求解齐次方程组了，前面的方阵就是方程的系数构成的矩阵，然后知道最终的解是非零的，故最终可以推出方阵的行列式为0

为了便于理解，这里举个我自己说服自己理解的栗子：

首先是方阵，那么假设就是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_13$ ，也就是三个方程三个未知数，方程的右边等于0
那么方程一定有一个解，就是三个未知数都为0的时候，也就是不管方程的系数取多少，我的未知数都取0，最后计算等式左边和右边都是0
现在出现了非零解，说明啥？
第一反应就是肯定有两个或者三个方程组是等价的（也就是方程的系数成比例）
比如 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_14$
这样的情况下系数对应的行列式就为0了，存在两行数据成比例

上面就是自己的思维理解过程，不是很严谨，但是特别能说服我自己：齐次方程组存在非零解 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_15$

所以最终对于上面的化简式子就有了： $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_16$ 存在非零解 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_17$ ，其中

$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_18$ 被称为特征矩阵
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_19$ 为特征多项式
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_20$ 为特征方程
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_21$ 就是特征方程的解，也成为特征值或者特征根

2 性质

若 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_02$ 是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数$ 的特征值， $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_03$ 为对应于 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_02$ 的特征向量

1） $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_26$ ， $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_27$ 也是对应于 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_08$ 的特征向量，所以一个特征值可以对应多个特征向量，但是一个特征向量只能对应一个特征值，打个比方：特征值是父母，特征向量是儿女，正常情况下一对父母可以有多对儿女，但是对于单个的儿子，女儿来说只能有一对父母。
2）若 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_29$ 是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_08$ 的特征向量，则 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_31$ 也是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_08$ 的特征向量，证明过程：根据公式拆开即可验证

3 计算

例1

设 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_33$ ，求解A的特征值与特征向量

解：

$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_34$
提取行列式，问题就在于系数行列式的求解

$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_35$

求解思路：

1）完全展开，得三次方程，很难解，比如 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_36$
2）把某行尽量转化为0，然后按照该行进行展开
3）提公因子（最好含 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_08$ ）
4）相邻两项相同（行、列），行和或者列和相等

比如按照最后一列进行展开
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_38$

最终计算出来的 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_39$ (注意重根一定要写出来)

求解特征值对应的特征方程
① 当 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_40$ 时
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_41$
②当 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_42$ 时
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_43$

老师视频里抄错了，就溜了，哈哈哈，接下来进行一个详细的求解例题

注意： $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_44$ 中 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_02$ 只在对角线上存在；A中所有的元素都取相反数

例2

设 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_46$ ，求解A的特征值与特征向量

解：

$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_47$

最终计算出来的 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_48$ (注意重根一定要写出来)

规范化的求解步骤：
① $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_49$ 时，对于 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_50$ 矩阵，直接将上面计算行列式的第一步的结果拿来带入 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_51$ 的值，只做初等行变换，化为行简化阶梯型，解出同解方程组
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_52$

解出： $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_53$ ，所以对应的特征向量就为： $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_54$ ，其中 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_55$

② $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_56$
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_57$

此时取 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_58$ 分别为 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_59$ 和 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_60$ ，计算出特征向量为 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_61$ ，其中 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_62$ 不能同时为0

例3

设 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_63$ ，求解A的特征值与特征向量

解：
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_64$

然后将 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_02$ 带入，求出对应的矩阵
$【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_66$

那么问题就来了，化为行简化阶梯型，其中有1的放在在左边，其余的放在右边，所以这里的 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_67$ 都是自由未知量，按照特征向量的定义，必须是要非零的列向量，所以最终的结果为 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_68$ ，其中 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_69$ 不能同时为0

4 特征值与特征向量的性质

性质：

1） $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_70$ 和 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_71$ 有相同的特征值，但是特征向量不一定相同
证明： $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_72$
2）若 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_73$ 且 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_74$ ,则 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_75$
3）若方阵的n个特征值为 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_76$ ，则有① $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_77$ ，也就是所有的特征值之和就为矩阵对角线元素之和；② $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_78$
4）互不相同的特征值 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_矩阵_76$ 对应的特征向量 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_80$ 线性无关
5）对4）进行补充，如果每个特征向量有多对特征值，那么这些特征向量也是线性无关的
6）k重特征根，对应的线性无关的特征向量的个数小于等于k

其它性质：

1） $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_81$ 是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_82$ 的特征值
2） $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_83$ 是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_84$ 的特征值， $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_85$ 是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征向量_86$ 的特征值
比如2是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_70$ 的特征值， $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_88$ 的特征值为 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_89$ ，注意对应的 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_线性代数_70$ 换成特征值，单位阵改成1即可
3） $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_91$ 是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_92$ 的特征值； $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征方程_93$ 是 $【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质_特征值_94$ 的特征值