深探特征根的奥妙 - 哔哩哔哩

在学习数列时我们会遇到这么一种递推式，如： $a_1%3D1%2Ca_2%3D1%2Ca_%7Bn%2B2%7D-5a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_n%3D0$

其对应的特征根方程为 $t%5E2-5t%2B6%3D0$ ，求出特征根 $t_1%3D2%2Ct_2%3D3$ ，于是得出 $a_n%3DC_1%5Ccdot%202%5En%2BC_2%5Ccdot%203%5En$ ，然后...

"等等，你一步究竟是为什么呀?"

"你记住这么个结论就行了，方便于你解题，考试不用你推导!"

其实这是很多人都尚未解决的疑点，今儿不妨先脱离教条主义的束缚，让我们一探究竟！

ps:笔者虽然还不知道前人究竟是怎么想到这个方法的，但我可以尽我所能把这其中的逻辑以及这个方法的合理性讲清楚，详见下文~

由于这是一个二阶递推，因此我们最初的想法是考虑将其移项化为

$a_%7Bn%2B2%7D%2B%5Clambda%20a_%7Bn%2B1%7D%3Dq(a_%7Bn%2B1%7D%2B%5Clambda%20a_%7Bn%7D)$ ，然后令 $%5Cleft%20%5C%7B%20a_%7Bn%2B1%7D%2B%5Clambda%20a_%7Bn%7D%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 是等比数列完成初步降阶

(也就是把含3项间的关系向含两项间的关系转化，降低难度)

因此，我们需要一个助手来帮我们化成上述形式，因此一位名叫"多项式"的助手来也！

请来的助手长这样： $t%5E2-5t%2B6%3D0$

然后其进行了如下的骚操作变换：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(t-2)(t-3)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t(t-2)-3(t-2)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3(t-2)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

"递推式"小兄看后瞬间学会了，于是化成了

$a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3(a_%7Bn%2B1%7D-2a_n)$

于是助手的这一帮助以巨大的成功告终！

但是...其实"递推式"小兄很懒，因为他只看到了助手最开始和最后的模样，不过我们还真得庆幸他在中间开小差了，毕竟中间的过程正是小兄学不会的！

ps:下面的文字可能会啰嗦繁琐些，可以粗略浏览，后面那张图是最重要的

这个故事我想了许久才造出来的，姑且就称为《小兄的小差》吧，有些尬()

先来解释下为什么助手能教会小兄？

这是助手的变形：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(t-2t%5E0)(t-3t%5E0)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t(t-2t%5E0)-3(t-2t%5E0)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

由于每一步推导都是充要的，因此可以选择省略中间过程，得：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

现在我们把中间的过程先抛之脑后，但看上面这一推导。我们发现，如果将 $t%5E2%2Ct%5E1%2Ct%5E0$ 换成 $a_%7Bn%2B2%7D%2Ca_%7Bn%2B1%7D%2Ca_n$ ，那么这一推导的充要性依然成立

因为我们可以通过这么一条路径完成：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3t-6t%5E0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

在这条路径中进行上述的替换是没有任何问题的，因为多项式的运算可以提取系数①，拆解某一项(这里的拆解指如 $t%3D2t-t$ 这种运算)②。而①②运用到递推式中也是可行的，因此，类比上式，我们进行替换得到：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3(a_%7Bn%2B1%7D-2a_n)%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3a_%7Bn%2B1%7D-6a_n%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26a_%7Bn%2B2%7D-5a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_n%3D0%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

嗯，这很完美！但关键问题来了，既然助手能帮上忙，那为啥又不让小兄从头到尾学完呢？

有意思的是我们请来的助手虽看上去像个形式记号

(瞧上文，不就是把 $t%5E2%2Ct%5E1%2Ct%5E0$ 换成 $a_%7Bn%2B2%7D%2Ca_%7Bn%2B1%7D%2Ca_n$ 嘛，这么简单小兄当然能学会了)

但我们利用的正是形式记号不同于原先递推式的功能！

我们来看到助手中这诡异的第二步！

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26%5Cboxed%7B(t-2t%5E0)(t-3t%5E0)%3D0%7D%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t(t-2t%5E0)-3(t-2t%5E0)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

他居然会因式分解！

这点就无法被小兄学到，因为把一个高次式分成若干个低次式是助手的独有功能，如 $t%5E2%3Dt%5Ccdot%20t$ ，而递推式中的 $a_%7Bn%2B2%7D%2Ca_%7Bn%2B1%7D%2Ca_n$ 只是一次的，因此 $a_%7Bn%2B2%7D%3Da_%7Bn%2B1%7Da_%7Bn%2B1%7D$ 这种明显就违背递推式的运算法则了，递推式是一次，只能进行前文提到的两种运算：提取系数①，拆解某一项(这里的拆解指如 $t%3D2t-t$ 这种运算)②

这就是为什么说 $t%5E2%2Ct%2Ct%5E0$ 是形式记号，因为我们只case这3者在以 $%5Ctext%7B~%7Dt%5E2%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E1%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E0$ 的形式出现的情况，也只有当这种形式出现时才能类比到递推式的运算中！

而这一形式记号不只是被凑出来的，正是因为它有把一个高次式分成若干个低次式的独有功能，才完成了由 $t%5E2-5t%2B6t%5E0%3D0$ 向 $t%5E2-2t%3D3(t-2t%5E0)%5C$ 的转化！

仔细思考会发现这个过程极其的微妙。

如上图，绿色框框部分是小兄能够学会的(也就是两种运算见可以类比的)，红色框框部分是助手的独有功能。

也就是说助手有两种途径由 $t%5E2-5t%2B6%3D0$ 到 $t%5E2-2t%3D3(t-2)$ ；而小兄只有一种途径由 $a_%7Bn%2B2%7D-4a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_n%3D0$ 到 $a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3(a_%7Bn%2B1%7D-2a_n)$ 。我们请出助手的目的，正是想利用助手的独有功能，让他更快捷地走到 $t%5E2-2t%3D3(t-2)$ ，然后再用小兄能学会的方式(也即变形至两种运算法则相同时)教会他。

我的语言表述可能还不太形象，但上面的这幅图一定要仔细斟酌其丰富内涵！其涵盖了特征根方法的底层逻辑！

因此，现在助手教会了小兄第一步，变形为：

$a_%7Bn%2B2%7D-2a_%7Bn%2B1%7D%3D3(a_%7Bn%2B1%7D-2a_n)$

于是 $%5Cleft%20%5C%7B%20a_%7Bn%2B1%7D-2a_n%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 是以 $a_2-2a_1%3D-1$ 为首项，3为公比的等比数列，即

$a_%7Bn%2B1%7D-2a_n%3D(-1)%5Ctimes%203%5E%7Bn-1%7D$ ①

同理，我们借助助手，化为：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26t%5E2-5t%2B6%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26(t-2)(t-3)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t(t-3)-2(t-3)%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26t%5E2-3t%3D2(t-3)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

只取第一步和最后一步进行类比，有：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26a_%7Bn%2B2%7D-5a_%7Bn%2B1%7D%2B6a_%7Bn%7D%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26a_%7Bn%2B2%7D-3a_%7Bn%2B1%7D%3D2(a_%7Bn%2B1%7D-3a_%7Bn%7D)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

于是 $%5Cleft%20%5C%7B%20a_%7Bn%2B1%7D-3a_n%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 是以 $a_2-3a_1%3D-2$ 为首项，2为公比的等比数列，即

$a_%7Bn%2B1%7D-3a_n%3D(-2)%5Ctimes%202%5E%7Bn-1%7D$ ②

联立①②得： $%5Cboxed%7Ba_n%3D(-1)%5Ctimes%203%5E%7Bn-1%7D%2B2%5Ctimes%202%5E%7Bn-1%7D%7D$

利用助手这一独有的功能，我们对其进行拓展

设 $%5Cleft%20%5C%7B%20a_n%20%5Cright%20%5C%7D%20$ 满足m阶线性递推： $a_%7Bn%2Bm%7D%2B%5Ctext%7B~%7Da_%7Bn%2Bm-1%7D%2B%5Ctext%7B~%7Da_%7Bn%2Bm-2%7D%2B%5Ccdots%20%2Ba_n%3D0$ (~表系数)，其对应的特征多项式(助手)为：

$t%5Em%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E%7Bm-1%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E%7Bm-2%7D%2B%5Ccdots%20%2B1%3D0$

有这么个记号对应： $t%5Em%5Cto%20a_%7Bn%2Bm%7D%2Ct%5E%7Bm-1%7D%5Cto%20a_%7Bn%2Bm-1%7D%2C%5Ccdots%20%2Ct%5E%7B0%7D%5Cto%20a_%7Bn%2B0%7D$

现在利用助手的独有功能快速转化

设该多项式的根为 $t_1%2Ct_2%2C%5Ccdots%20%2Ct_m$

那么根据因式定理，其可以分解为：

$(t-t_1)(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%3D0$

取定其中一个因式，如取 $(t-t_1)$ ，将剩余部分乘入得：

$%5Bt(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D-%5Bt_1(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D%3D0$

即 $%5Bt(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D%3D%5Bt_1(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D$

对比左右两边，我们发现左边多出一个t，右边多出一个 $t_1$ 。现在不妨事先思考：倘若我们将左边展开，那么左边的展开式每一项一定会比右边的展开式对应项高1次！(因为多乘了个t)

因此在这一(可类比/模仿的)步中将该记号替换回，即得到其中一个等比数列。

同理，把每个特征根都用一遍，就能得到m个等比数列，以此解方程组即得。

ps:当然，这只是针对一般情况，特殊情况如重根、复数根之类的我们先放一边。能利用特征多项式(助手)的独特功能推广到这一般情况已经是一步质的飞跃了！

另外，特征多项式(助手)在解线性微分方程时也会用上。

引理： $t'%3D%5Clambda%20t%5CRightarrow%20t%3DCe%5E%7B%5Clambda%20%20x%7D$ (分离变量易得)

比如解微分方程 $y''-5y'%2B6y%3D0$

同样，我们请出助手 $t%5E2-5t%2B6%3D0$

只取第一步和最后一步进行类比，有：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26y''-5y'%2B6y%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26y''-2y'%3D3(y'-2y)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

这时 $y''-2y'$ 恰比 $y'-2y$ 高一阶，于是作换元 $t%3Dy'-2y$ 得：

$t'%3D3t%5CRightarrow%20t%3DC_1e%5E%7B3x%7D$

即 $y'-2y%3DC_1e%5E%7B3x%7D$ ①

同理，助手再进行另一种变形：

只取第一步和最后一步进行类比，有：

$%5Cbegin%7Balign*%7D%0A%26y''-5y'%2B6y%3D0%5C%5C%0A%5CLeftrightarrow%20%26y''-3y'%3D2(y'-3y)%5C%5C%0A%5Cend%7Balign*%7D$

这时 $y''-3y'$ 恰比 $y'-3y$ 高一阶，于是作换元 $u%3Dy'-3y$ 得：

$u'%3D2u%5CRightarrow%20u%3DC_2e%5E%7B2x%7D$

即 $y'-3y%3DC_2e%5E%7B2x%7D$ ②

由①②得： $y%3DC_1'e%5E%7B3x%7D%2BC_2'e%5E%7B2x%7D$

ps:这里的 $C_1'%2CC_2'$ 仍是任意常数，只是区别于 $C_1%2CC_2$ (在解上述方程组中有对应关系)

利用助手这一独有的功能，我们对其进行拓展

设m阶齐次线性微分方程： $y'%5E%7B(m)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dy'%5E%7B(m-1)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dy'%5E%7B(m-2)%7D%2B%5Ccdots%20%2By%3D0$ (~表系数)，其对应的特征多项式(助手)为：

$t%5Em%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E%7Bm-1%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dt%5E%7Bm-2%7D%2B%5Ccdots%20%2B1%3D0$

有这么个记号对应： $t%5Em%5Cto%20y'%5E%7B(m)%7D%2Ct%5E%7Bm-1%7D%5Cto%20y'%5E%7B(m-1)%7D%2C%5Ccdots%20%2Ct%5E%7B0%7D%5Cto%20y$

现在利用助手的独有功能快速转化

设该多项式的根为 $t_1%2Ct_2%2C%5Ccdots%20%2Ct_m$

那么根据因式定理，其可以分解为：

$(t-t_1)(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%3D0$

取定其中一个因式，如取 $(t-t_1)$ ，将剩余部分乘入得：

$%5Bt(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D-%5Bt_1(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D%3D0$

即 $%5Bt(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D%3D%5Bt_1(t-t_2)%5Ccdots%20(t-t_m)%5D$

因此在这一(可类比/模仿的)步中将该记号替换回，即得到其中一组解 $u%3DC_1e%5E%7Bt_1x%7D$ (u为对那个左右刚好差一阶的部分换元)。

同理，把每个特征根都用一遍，就能得到m组解，以此解方程组即得。

这里顺便再推广到非齐次线性微分方程：

$y'%5E%7B(m)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dy'%5E%7B(m-1)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Dy'%5E%7B(m-2)%7D%2B%5Ccdots%20%2By%3Df(x)$

设 $y%3Du%2Bg(x)$ (g(x)为待定的函数)，代入得：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26u'%5E%7B(m)%7D%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bg'%5E%7B(m)%7D(x)%7D%7D%20%2B%5Ctext%7B~%7Du'%5E%7B(m-1)%7D%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Ctext%7B~%7Dg'%5E%7B(m-1)%7D(x)%7D%7D%20%5C%5C%0A%26%2B%5Ctext%7B~%7Du'%5E%7B(m-2)%7D%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Ctext%7B~%7Dg'%5E%7B(m-2)%7D(x)%7D%7D%20%2B%5Ccdots%20%2Bu%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bg(x)%7D%7D%20%3D%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bf(x)%7D%7D%20%0A%5Cend%7Balign%7D$

待定g(x)，令上面红色部分相等，即

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bg'%5E%7B(m)%7D(x)%7D%7D%20%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Ctext%7B~%7Dg'%5E%7B(m-1)%7D(x)%7D%7D%20%5C%5C%0A%26%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Ctext%7B~%7Dg'%5E%7B(m-2)%7D(x)%7D%7D%20%2B%5Ccdots%20%2B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bg(x)%7D%7D%20%3D%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7Bf(x)%7D%7D%20%0A%5Cend%7Balign%7D$

我们发现 $g(x)$ 恰好就是原微分方程的一个解，而由于g(x)是待定的，因此取其中一个解即可(即非齐次特解，也即原方程的一个解)

于是上上式红色部分消掉，就得：

$u'%5E%7B(m)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Du'%5E%7B(m-1)%7D%2B%5Ctext%7B~%7Du'%5E%7B(m-2)%7D%2B%5Ccdots%20%2Bu%20%3D0$

这就是关于 $u$ 的齐次线性微分方程了，因此可能特征根(助手)解之。

又因为前面所设 $y%3Du%2Bg(x)$ ，因此u就是齐次时的通解(即将f(x)去掉后的解)，g(x)为非齐次时的特解(即原方程的一个解)

这便是结论"非齐次通解=齐次通解+非齐次特解"的由来。

更多的例子参考视频：

【乐正垂星】母函数是可以被理解的？！

ps:视频作者是位良心的up，建议关注哦

万万没想着，看着令人头大的离谱的定理背后居然有如此惊人、微妙的数学原理！不妨做一名知识的探索者，在空闲之时尝试跳出题海去发掘那些定理背后的底层逻辑，还原数学一份优雅的美感！