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令x=tan(t)，t∈(-pi/2，pi/2)，则根号(1+x^2)=sec(t)

∫根号(1+x^2)dx

=∫sec(t)d(tan(t))-----(令此积分为I)

=tan(t)sec(t)-∫tan(t)d(sec(t))

=tan(t)sec(t)-∫tan(t)^2.sec(t)dt

=tan(t)sec(t)-∫sec(t)[sec(t)^2-1]dt

=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+∫sec(t)dt

=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+ln[sec(t)+tan(t)]

=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]-I

所以2I=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]+C

I={tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]}/2+C

={x根号(1+x^2)+ln[根号(1+x^2)+x]}/2+C

不定积分I即为所求原函数.

根号下1+x的平方等于

当x>-1时，根号下1+x的平方等于1+x当x=-1时，根号下1+x的平方等于0当x<-1时，根号下1+x的平方等于-1-x。

详细解答如下:分三种情况讨论:

依据二次根式的性质，√(1+x)^2

=|1+x|。依据绝对值的意义，当

1+x>0，即x>-1时，√(1+x)^2=|1+x|=1+x。

当1+x=0，即x=-1时。

√(1+x)^2=|1+x|=0。

当1+x<0，即x<-1时

√(1+x)^2=|1+x|=-1-x。

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