翻过任意教材的人可能都知道大部分地方证明用到了一种叫做 diagram chasing（图追踪）的方法。这使得我们对任意的阿贝尔范畴证明蛇引理就像在 $R$-模范畴（比如 $R=\Z$ 时，阿贝尔群范畴）中证明一样简单。

然而对于任意的阿贝尔范畴，我们是不能这样做的。本篇介绍的“图追踪”方法就是作为替代的一种理论。

一般的阿贝尔范畴就没办法这么简单。因为一些范畴并不由“基础的集合”加上一些代数结构给出，因而我们也没办法通过“对于 $A$ 的每一个元素都可以得到 $B$ 的一个元素”这样来得到一个态射。

虽然我们其实有 Freyd-Mitchell 嵌入定理，即任何一个小的（所有对象和态射构成集合）阿贝尔范畴都到某个 $R$-模范畴有全的、忠实的、正合的函子。即，我们可以把它“嵌入”到一个 $R$-模范畴中，并且任意 $\Hom(AB)\to\Hom(F(A)F(B))$ 都是同构且这个函子保持正合性。 这个定理是一种解决方案，但是它本身不是那么显然。我们这里给出一个用来“图追踪”的替代方案。

如本文最初的例子，我们通过选取 $X$ 中任意一个元素，一番操作后得到了 $Y$ 中的一个元素，最后说明这样的操作不依赖于“中间变量”的选取来构造出了 $X\to Y$ 的态射。

我们画一个例子来说明。注意下图中每个 $A_i$ 都是一个拉回；不妨设 $Y=U_3$。

首先我们构造 $\delta$ 外的序列并且说明它正合。

注意这里的细化操作我们省略掉了；因为除了在构造态射的时候，我们都完全可以直接把 $x$ 和它的细化当做等同的、并且不难验证这样之后提升、复合等操作也是良定义的。

我们注意到这段证明里也忽略了细化操作。这是因为一旦 $\delta$ 构造完成剩下的证明部分就不需要还原每一步了。

至于证明 $\delta$ 两边的正合性也完全可以如此来证明。因此我们就像 $R$-模里一样证明了 Snake Lemma。你完全可以把它和前一篇的证明对比，会发现我们隐式用到的各种推出和拉回都是一样的。