质数阶乘质数（又称素数阶乘质数或质数阶乘素数）是和某个质数阶乘相邻的质数，即它是某个质数阶乘的增一或减一。

pn的质数阶乘记作pn#。

前几个质数阶乘质数是：

质数阶乘质数也能用来证明质数是无限的。 首先，假设前n个质数是唯一存在的质数。如果pn# + 1或pn# − 1是质数阶乘质数，这意味着有比第n个质数更大的质数（即使不是质数，也能证明质数无穷，但不那么直接。这两个数除以前n个中的任何一个质数 p 时，都有余数 1 或 p−1 ，因此不整除其中任何一数）。

事实上，欧几里得的证明并没有假设一个有限集合包含所有质数的存在。相反，他说：

意思是： 考虑任何质数的有限集合（不一定是一开始的质数，例如，它可以是集合{3，11，47}），然后从两个方面得到这样的结论：至少存在一个不在该集合的质数。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）[2]