这个公式虽然很漂亮，但是并不方便计算

这个公式虽然很漂亮，但是并不方便计算。

先提出命题：行列式的绝对值等于一个箱子的体积。

对于三阶单位矩阵，其体积为\(\det I=1\)，此时这个箱子是一个单位立方体。这其实也证明了前面学过的行列式性质1。于是我们想，如果能接着证明性质2、3即可证明体积与行列式的关系。

对于行列式性质2，我们交换两行并不会改变箱子的大小，同时行列式的绝对值也没有改变，得证。

接下来在考虑不再是“单位”的立方体，即长方体。 假设\(Q\)矩阵的第一行翻倍得到新矩阵\(Q_2\)，此时箱子变为在第一行方向上增加一倍的长方体箱子，也就是两个“标准正交箱子”在第一行方向上的堆叠。易知这个长方体箱子是原来体积的两倍，而根据行列式性质3.a有\(\det Q_2=\det Q\)，于是体积也符合行列式的数乘性质。